합곱: 두 판 사이의 차이

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2015년 2월 7일 (토) 10:59 판

대수적 위상수학에서, 컵곱(영어: cup product)은 두 코호몰로지류를 더 큰 코호몰로지류로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, 코호몰로지호몰로지와 달리 등급환을 이룬다.

정의

쌍대사슬의 컵곱

위상 공간 가환환 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 컵곱은 다음과 같은 -선형 변환이다.

이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 차 특이 쌍대사슬 차 특이 쌍대사슬 차 특이 사슬 에 대하여,

여기서

()는 꼭짓점들이 차원 표준 단체를, 에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 국한시키는 함수이다.

코호몰로지류의 컵곱

쌍대사슬의 컵곱은 다음과 같이 쌍대경계 와 호환된다.

따라서, 쌍대사슬의 컵곱은 코호몰로지류 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 컵곱

이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 등급환을 이룬다.

성질

코호몰로지류의 컵곱은 다음과 같은 등급 교환 법칙을 따른다.

컵곱은 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 연속 함수 에 대하여, 코호몰로지의 당김

을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의 에 대하여,

즉, 등급환준동형사상을 이룬다.

역사

컵곱은 1935년~1938년 제임스 워델 알렉산더 · 에두아르트 체흐 · 해슬러 휘트니의 논문에서 처음 쓰였으며, 이후 1944년 사무엘 에일렌베르크가 일반화시켜서 사용하기 시작했다.

참고 문헌

바깥 고리

같이 보기