합곱

대수적 위상수학에서, 컵곱(영어: cup product)은 두 코호몰로지류를 더 큰 코호몰로지류로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다.

정의

쌍대사슬의 컵곱

위상 공간 $X$ 및 가환환 $R$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 컵곱은 다음과 같은 $R$-선형 변환이다.

$\smile \colon C^{p}(X;R)\times C^{q}(X;R)\to C^{p+q}(X;R)$

이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 $p$차 특이 쌍대사슬 $c\in C^{p}(X;R)$ 및 $q$차 특이 쌍대사슬 $d\in C^{q}(X;R)$ 및 $(p+q)$차 특이 사슬 $\sigma \colon \Delta ^{p+q}\to X$에 대하여,

$c\smile d\colon \sigma \mapsto c(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot d(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})$

여기서 $\iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}$ 는 꼭짓점이 $\{0,...,p+q\}$에 있는 $(p+q)$-단체 안의 S에 의한 단체 다양화 호몰로지 매장이다. 여기서 각각 $\sigma \circ \iota _{0,1,...,p}$는 σ의 p번째 앞면이고, $\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}$는 σ의 q번째 뒷면이다.

코호몰로지류의 컵곱

쌍대사슬의 컵곱은 다음과 같이 쌍대경계 $\delta$와 호환된다.

$\delta (c\smile d)=\delta c\smile d+(-1)^{\deg c}(c\smile \delta d)$

따라서, 쌍대사슬의 컵곱은 코호몰로지류 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 컵곱

$\smile \colon H^{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\to H^{p+q}(X;R)$

이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 $H^{\bullet }(X;R)$는 등급환을 이룬다.

성질

코호몰로지류의 컵곱은 다음과 같은 등급 교환환 법칙을 따른다.

$\alpha \smile \beta =(-1)^{\deg \alpha \deg \beta }(\beta \smile \alpha )$

컵곱은 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 연속 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 코호몰로지의 당김

$f^{*}\colon H^{\bullet }(Y)\to H^{\bullet }(X)$

을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의 $\alpha ,\beta \in H^{\bullet }(Y)$에 대하여,

$f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),$

즉, $f^{*}$는 등급환의 준동형사상을 이룬다.

역사

컵곱은 1935년~1938년 제임스 워델 알렉산더 · 에두아르트 체흐 · 해슬러 휘트니의 논문에서 처음 쓰였으며, 이후 1944년 사무엘 에일렌베르크가 일반화시켜서 사용하기 시작했다.

참고 문헌

• 조용승 (2010년 9월). 《대수적 위상수학》. 경문사. ISBN 978-89-6105-365-5. 
• Munkres, James R. (2000). 《Topology》 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
• Bredon, Glen E. (1993). 《Topology and geometry》. Springer. ISBN 0-387-97926-3. 
• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001. 

바깥 고리

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cup product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Cup product”. 

같이 보기

• 특이 호몰로지
• 호몰로지
• 모자곱
• 매시 곱