합곱: 두 판 사이의 차이

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[[대수적 위상수학]]에서, '''컵곱'''({{llang|en|cup product}})은 차수가 ''p''및 ''q''인 [[쌍대사슬]]을 차수가 ''p'' + ''q''인 쌍대사슬로 이어붙이는 방법이다. 이는 [[등급환]] 안의 코호몰로지 공간 ''X''를 [[코호몰로지 환]]이라고 하는 ''H''<sup>∗</sup>(''X'')로 바꾸는, 코호몰로지에서 연관된(또한 분배된) 등급 가환 곱 연산이다.
[[대수적 위상수학]]에서, '''컵곱'''({{llang|en|cup product}})은 [[쌍대사슬]]을 쌍대사슬로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, [[코호몰로지]] [[호몰로지]]와 달리 [[등급환]] 이룬다.


== 정의 ==
== 정의 ==
=== 쌍대사슬의 컵곱 ===
[[특이 코호몰로지]]에서, 컵곱은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] ''X''의 [[등급환|등급환적]] [[코호몰로지 환]] ''H''<sup>∗</sup>(''X'') 곱을 만들어주는 연산이다.
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 [[가환환]] <math>R</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 '''컵곱'''은 다음과 같은 <math>R</math>-[[선형 변환]]이다.
:<math>\smile\colon C^p(X;R)\times C^q(X;R)\to C^{p+q}(X;R)</math>


이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 <math>p</math>차 특이 쌍대사슬 <math>c\in C^p(X;R)</math> 및 <math>q</math>차 특이 쌍대사슬 <math>d\in C^q(X;R)</math> 및 <math>(p+q)</math>차 특이 사슬 <math>\sigma\colon\Delta^{p+q}\to X</math>에 대하여,
[[코호몰로지|쌍대사슬]]에서 곱 연산은 다음과 같이 진행된다. 만약 ''c''<sup>''p''</sup>이 ''p''-쌍대사슬이고
:<math>c \smile d\colon\sigma \mapsto c(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot d(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q})</math>
''d''<sup>''q''</sup>이 ''q''-쌍대사슬이라면,
:<math>(c^p \smile d^q)(\sigma) = c^p(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot d^q(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q})</math>
여기서 <math>\iota_S , S \subset \{0,1,...,p+q \} </math> 는 꼭짓점이 <math>\{0,...,p+q \}</math>에 있는 <math>(p+q)</math>-단체 안의 S에 의한 단체 다양화 호몰로지 [[매장 (수학)|매장]]이다. 여기서 각각 <math> \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p}</math>는 σ의 ''p''번째 '''앞면'''이고, <math>\sigma \circ \iota_{p, p+1, ..., p + q}</math>는 σ의 ''q''번째 '''뒷면'''이다.
여기서 σ 는 [[특이 호몰로지|특이]] (''p'' + ''q'') -[[단체 (수학)|단체]]이고 <math>\iota_S , S \subset \{0,1,...,p+q \} </math> 는 정점이 <math>\{0,...,p+q \}</math>에 있는 <math>(p+q)</math>-단체 안의 S에 의한 단체 다양화 호몰로지 [[매장 (수학)|매장]]이다.


=== 코호몰로지류의 컵곱 ===
약식으로, 각각 <math> \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p}</math>는 σ의 ''p''번째 '''앞면'''이고, <math>\sigma \circ \iota_{p, p+1, ..., p + q}</math>는 σ의 ''q''번째 '''뒷면'''이다.
쌍대사슬의 컵곱은 다음과 같이 쌍대경계 <math>\delta</math>와 호환된다.

:<math>\delta(c \smile d) = \delta c \smile d + (-1)^{\deg c}(c \smile \delta d)</math>
쌍대사슬 c<sup>''p''</sup>와 d<sup>''q''</sup>의 컵곱의 [[사슬 복합체]]는
따라서, 쌍대사슬의 컵곱은 코호몰로지류 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 '''컵곱'''
:<math>\delta(c^p \smile d^q) = \delta{c^p} \smile d^q + (-1)^p(c^p \smile \delta{d^q}).</math>
:<math>\smile\colon H^p(X;R)\times H^q(X;R)\to H^{p+q}(X;R)</math>
로 주어진다.
이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 <math>H^\bullet(X;R)</math>는 [[등급환]]을 이룬다.

두 쌍대사슬의 컵곱은 다시 쌍대사슬이 되며, 쌍대사슬의 [[사슬 복합체]]의 컵곱은 다시 [[사슬 복합체]]가 된다. 컵곱 연산은 다음과 같은 코호몰로지 선형 연산을 유도할 수 있다.
: <math> H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X). </math>


== 성질 ==
== 성질 ==
코호몰로지에서 컵곱 연산은 다음과 같은 성질을 만족한다.
코호몰로지류의 컵곱은 다음과 같은 등급 교환환 법칙을 따른다.
:<math>\alpha^p \smile \beta^q = (-1)^{pq}(\beta^q \smile \alpha^p)</math>
:<math>\alpha \smile \beta = (-1)^{\deg\alpha\deg\beta}(\beta \smile \alpha)</math>
그러므로, 다음과 같은 곱은 [[최상교환|등급 가환]]이라고 할 수 있다.


컵곱은 [[함자 (수학)|함자]]를 이룬다. 구체적으로, 임의의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 코호몰로지의 [[당김]]
컵곱은 [[함자 (수학)|함자적]]이므로, 만약
:<math>f\colon X\to Y</math>
이 연속 함수이고,
:<math>f^*\colon H^*(Y)\to H^*(X)</math>
:<math>f^*\colon H^*(Y)\to H^*(X)</math>
을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의 <math>\alpha,\beta\in H^\bullet(Y)</math>에 대하여,
이 코호몰로지에서 [[준동형사상]]으로 유도된다면,
:<math>f^*(\alpha \smile \beta) =f^*(\alpha) \smile f^*(\beta),</math>
:<math>f^*(\alpha \smile \beta) =f^*(\alpha) \smile f^*(\beta),</math>
는 ''H'' <sup>*</sup>(''Y'')의 α, β 모든 코호몰로지류에서 성립한다. 다른 말로, ''f'' <sup>*</sup>는 [[등급환]]의 [[준동형사상]]이라고 할 수 있다.
즉, <math>f^*</math>는 [[등급환]]의 [[준동형사상]] 이룬다.


== 역사 ==
== 역사 ==
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* {{책 인용|이름=Glen E.|성=Bredon|제목=Topology and geometry|출판사=Springer|날짜=1993|isbn=0-387-97926-3|언어고리=en}}
* {{책 인용|이름=Glen E.|성=Bredon|제목=Topology and geometry|출판사=Springer|날짜=1993|isbn=0-387-97926-3|언어고리=en}}
* {{책 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어고리=en}}
* {{책 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어고리=en}}

== 바깥 고리 ==
* {{매스월드|id=CupProduct|title=Cup product}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/cup+product|제목=Cup product|작품명=nLab|언어고리=en}}


== 같이 보기 ==
== 같이 보기 ==

2015년 2월 7일 (토) 09:40 판

대수적 위상수학에서, 컵곱(영어: cup product)은 두 쌍대사슬을 더 큰 쌍대사슬로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, 코호몰로지호몰로지와 달리 등급환을 이룬다.

정의

쌍대사슬의 컵곱

위상 공간 가환환 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 컵곱은 다음과 같은 -선형 변환이다.

이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 차 특이 쌍대사슬 차 특이 쌍대사슬 차 특이 사슬 에 대하여,

여기서 는 꼭짓점이 에 있는 -단체 안의 S에 의한 단체 다양화 호몰로지 매장이다. 여기서 각각 는 σ의 p번째 앞면이고, 는 σ의 q번째 뒷면이다.

코호몰로지류의 컵곱

쌍대사슬의 컵곱은 다음과 같이 쌍대경계 와 호환된다.

따라서, 쌍대사슬의 컵곱은 코호몰로지류 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 컵곱

이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 등급환을 이룬다.

성질

코호몰로지류의 컵곱은 다음과 같은 등급 교환환 법칙을 따른다.

컵곱은 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 연속 함수 에 대하여, 코호몰로지의 당김

을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의 에 대하여,

즉, 등급환준동형사상을 이룬다.

역사

컵곱은 1935년~1938년 제임스 워델 알렉산더 · 에두아르트 체흐 · 해슬러 휘트니의 논문에서 처음 쓰였으며, 이후 1944년 사무엘 에일렌베르크가 일반화시켜서 사용하기 시작했다.

참고 문헌

바깥 고리

같이 보기