합곱: 두 판 사이의 차이
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[[대수적 위상수학]]에서, '''컵곱'''({{llang|en|cup product}})은 |
[[대수적 위상수학]]에서, '''컵곱'''({{llang|en|cup product}})은 두 [[쌍대사슬]]을 더 큰 쌍대사슬로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, [[코호몰로지]]는 [[호몰로지]]와 달리 [[등급환]]을 이룬다. |
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== 정의 == |
== 정의 == |
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=== 쌍대사슬의 컵곱 === |
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[[특이 코호몰로지]]에서, 컵곱은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] ''X''의 [[등급환|등급환적]] [[코호몰로지 환]] ''H''<sup>∗</sup>(''X'') 곱을 만들어주는 연산이다. |
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[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 [[가환환]] <math>R</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 '''컵곱'''은 다음과 같은 <math>R</math>-[[선형 변환]]이다. |
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이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 <math>p</math>차 특이 쌍대사슬 <math>c\in C^p(X;R)</math> 및 <math>q</math>차 특이 쌍대사슬 <math>d\in C^q(X;R)</math> 및 <math>(p+q)</math>차 특이 사슬 <math>\sigma\colon\Delta^{p+q}\to X</math>에 대하여, |
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[[코호몰로지|쌍대사슬]]에서 곱 연산은 다음과 같이 진행된다. 만약 ''c''<sup>''p''</sup>이 ''p''-쌍대사슬이고 |
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:<math>c \smile d\colon\sigma \mapsto c(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot d(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q})</math> |
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''d''<sup>''q''</sup>이 ''q''-쌍대사슬이라면, |
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여기서 <math>\iota_S , S \subset \{0,1,...,p+q \} </math> 는 꼭짓점이 <math>\{0,...,p+q \}</math>에 있는 <math>(p+q)</math>-단체 안의 S에 의한 단체 다양화 호몰로지 [[매장 (수학)|매장]]이다. 여기서 각각 <math> \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p}</math>는 σ의 ''p''번째 '''앞면'''이고, <math>\sigma \circ \iota_{p, p+1, ..., p + q}</math>는 σ의 ''q''번째 '''뒷면'''이다. |
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여기서 σ 는 [[특이 호몰로지|특이]] (''p'' + ''q'') -[[단체 (수학)|단체]]이고 <math>\iota_S , S \subset \{0,1,...,p+q \} </math> 는 정점이 <math>\{0,...,p+q \}</math>에 있는 <math>(p+q)</math>-단체 안의 S에 의한 단체 다양화 호몰로지 [[매장 (수학)|매장]]이다. |
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=== 코호몰로지류의 컵곱 === |
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약식으로, 각각 <math> \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p}</math>는 σ의 ''p''번째 '''앞면'''이고, <math>\sigma \circ \iota_{p, p+1, ..., p + q}</math>는 σ의 ''q''번째 '''뒷면'''이다. |
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쌍대사슬의 컵곱은 다음과 같이 쌍대경계 <math>\delta</math>와 호환된다. |
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쌍대사슬 c<sup>''p''</sup>와 d<sup>''q''</sup>의 컵곱의 [[사슬 복합체]]는 |
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따라서, 쌍대사슬의 컵곱은 코호몰로지류 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 '''컵곱''' |
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:<math>\smile\colon H^p(X;R)\times H^q(X;R)\to H^{p+q}(X;R)</math> |
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로 주어진다. |
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이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 <math>H^\bullet(X;R)</math>는 [[등급환]]을 이룬다. |
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두 쌍대사슬의 컵곱은 다시 쌍대사슬이 되며, 쌍대사슬의 [[사슬 복합체]]의 컵곱은 다시 [[사슬 복합체]]가 된다. 컵곱 연산은 다음과 같은 코호몰로지 선형 연산을 유도할 수 있다. |
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== 성질 == |
== 성질 == |
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코호몰로지류의 컵곱은 다음과 같은 등급 교환환 법칙을 따른다. |
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:<math>\alpha |
:<math>\alpha \smile \beta = (-1)^{\deg\alpha\deg\beta}(\beta \smile \alpha)</math> |
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그러므로, 다음과 같은 곱은 [[최상교환|등급 가환]]이라고 할 수 있다. |
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컵곱은 [[함자 (수학)|함자]]를 이룬다. 구체적으로, 임의의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 코호몰로지의 [[당김]] |
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컵곱은 [[함자 (수학)|함자적]]이므로, 만약 |
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:<math>f\colon X\to Y</math> |
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이 연속 함수이고, |
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:<math>f^*\colon H^*(Y)\to H^*(X)</math> |
:<math>f^*\colon H^*(Y)\to H^*(X)</math> |
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을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의 <math>\alpha,\beta\in H^\bullet(Y)</math>에 대하여, |
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이 코호몰로지에서 [[준동형사상]]으로 유도된다면, |
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:<math>f^*(\alpha \smile \beta) =f^*(\alpha) \smile f^*(\beta),</math> |
:<math>f^*(\alpha \smile \beta) =f^*(\alpha) \smile f^*(\beta),</math> |
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즉, <math>f^*</math>는 [[등급환]]의 [[준동형사상]]을 이룬다. |
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== 역사 == |
== 역사 == |
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* {{책 인용|이름=Glen E.|성=Bredon|제목=Topology and geometry|출판사=Springer|날짜=1993|isbn=0-387-97926-3|언어고리=en}} |
* {{책 인용|이름=Glen E.|성=Bredon|제목=Topology and geometry|출판사=Springer|날짜=1993|isbn=0-387-97926-3|언어고리=en}} |
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* {{책 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어고리=en}} |
* {{책 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어고리=en}} |
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== 바깥 고리 == |
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* {{매스월드|id=CupProduct|title=Cup product}} |
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* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/cup+product|제목=Cup product|작품명=nLab|언어고리=en}} |
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== 같이 보기 == |
== 같이 보기 == |
2015년 2월 7일 (토) 09:40 판
대수적 위상수학에서, 컵곱(영어: cup product)은 두 쌍대사슬을 더 큰 쌍대사슬로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다.
정의
쌍대사슬의 컵곱
위상 공간 및 가환환 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 컵곱은 다음과 같은 -선형 변환이다.
이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 차 특이 쌍대사슬 및 차 특이 쌍대사슬 및 차 특이 사슬 에 대하여,
여기서 는 꼭짓점이 에 있는 -단체 안의 S에 의한 단체 다양화 호몰로지 매장이다. 여기서 각각 는 σ의 p번째 앞면이고, 는 σ의 q번째 뒷면이다.
코호몰로지류의 컵곱
쌍대사슬의 컵곱은 다음과 같이 쌍대경계 와 호환된다.
따라서, 쌍대사슬의 컵곱은 코호몰로지류 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 컵곱
이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 는 등급환을 이룬다.
성질
코호몰로지류의 컵곱은 다음과 같은 등급 교환환 법칙을 따른다.
컵곱은 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 연속 함수 에 대하여, 코호몰로지의 당김
을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의 에 대하여,
역사
컵곱은 1935년~1938년 제임스 워델 알렉산더 · 에두아르트 체흐 · 해슬러 휘트니의 논문에서 처음 쓰였으며, 이후 1944년 사무엘 에일렌베르크가 일반화시켜서 사용하기 시작했다.
참고 문헌
- 조용승 (2010년 9월). 《대수적 위상수학》. 경문사. ISBN 978-89-6105-365-5.
- Munkres, James R. (2000). 《Topology》 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
- Bredon, Glen E. (1993). 《Topology and geometry》. Springer. ISBN 0-387-97926-3.
- Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001.
바깥 고리
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Cup product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Cup product”.