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2015년 2월 3일 (화) 11:05 판

수학, 특히 대수적 위상수학에서 컵곱(cup product)은 차수가 p및 q인 쌍대사슬을 차수가 p + q인 쌍대사슬로 이어붙이는 방법이다. 이는 등급환 안의 코호몰로지 공간 X를 코호몰로지 환이라고 하는 H^∗(X)로 바꾸는, 코호몰로지에서 연관된(또한 분배된) 등급 가환 곱 연산이라고 할 수 있다. 컵곱은 1935년~1938년 제임스 워델 알렉산더, 에두아르트 체흐, 해슬러 휘트니의 논문에서 처음 쓰였으며, 이후 1944년 사무엘 에일렌베르크이 일반화시켜서 사용하기 시작했다.

정의

특이 코호몰로지에서, 컵곱은 위상 공간 X의 단계환적 코호몰로지 환 H^∗(X) 곱을 만들어주는 연산이다.

쌍대사슬에서 곱 연산은 다음과 같이 진행된다. 만약 c^p이 p-코체인이고 d^q이 q-쌍대사슬이라면,

(c^{p}\smile d^{q})(\sigma )=c^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot d^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})

여기서 σ 는 특이 (p + q) -단체이고 $\iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}$ 는 정점이 $\{0,...,p+q\}$ 에 있는 $(p+q)$ -단체 안의 S에 의한 단체 다양화 호몰로지 매장이다.

약식으로, 각각 $\sigma \circ \iota _{0,1,...,p}$ 는 σ의 p번째 앞면이고, $\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}$ 는 σ의 q번째 뒷면이다.

쌍대사슬 c^p와 d^q의 컵곱의 사슬 복합체는

\delta (c^{p}\smile d^{q})=\delta {c^{p}}\smile d^{q}+(-1)^{p}(c^{p}\smile \delta {d^{q}}).

로 주어진다.

두 쌍대사슬의 컵곱은 다시 쌍대사슬이 되며, 쌍대사슬의 사슬 복합체의 컵곱은 다시 사슬 복합체가 된다. 컵곱 연산은 다음과 같은 코호몰로지 선형 연산을 유도할 수 있다.

H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).

참고 문헌

James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback)
Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3
Allen Hatcher, "Algebraic Topology", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0

같이 보기

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-[[수학]], 특히 [[대수적 위상수학]]에서 '''컵곱'''(cup product)은 인접한 두 [[쌍대륜체]] ''p''와 ''q''를 ''p'' + ''q''의 쌍대륜 다양체로 바꾸는 방법이다. 이는 단계화된 환 안의 코호몰로지 공간 ''X''를 [[코호몰로지 환]]이라고 하는 ''H''<sup>∗</sup>(''X'')로 바꾸는, 코호몰로지에서 연관된(또한 분배된) 단계화된 가환성 곱 연산이라고 할 수 있다. 컵곱은 1935년~1938년 [[제임스 워델 알렉산더]], [[에두아르트 체흐]], [[해슬러 휘트니]]의 논문에서 처음 쓰였으며, 이후 1944년 [[사무엘 에일렌베르크]]이 일반화시켜서 사용하기 시작했다.
+[[수학]], 특히 [[대수적 위상수학]]에서 '''컵곱'''(cup product)은 차수가 ''p''및 ''q''인 [[쌍대사슬]]을 차수가 ''p'' + ''q''인 쌍대사슬로 이어붙이는 방법이다. 이는 [[등급환]] 안의 코호몰로지 공간 ''X''를 [[코호몰로지 환]]이라고 하는 ''H''<sup>∗</sup>(''X'')로 바꾸는, 코호몰로지에서 연관된(또한 분배된) 등급 가환 곱 연산이라고 할 수 있다. 컵곱은 1935년~1938년 [[제임스 워델 알렉산더]], [[에두아르트 체흐]], [[해슬러 휘트니]]의 논문에서 처음 쓰였으며, 이후 1944년 [[사무엘 에일렌베르크]]이 일반화시켜서 사용하기 시작했다.
 == 정의 ==
 [[특이 코호몰로지]]에서, 컵곱은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] ''X''의 [[단계환|단계환적]] [[코호몰로지 환]] ''H''<sup>∗</sup>(''X'') 곱을 만들어주는 연산이다.
-[[코호몰로지|코체인]]에서 곱 연산은 다음과 같이 진행된다. 만약 ''c''<sup>''p''</sup>이 ''p''-코체인이고
+[[코호몰로지|쌍대사슬]]에서 곱 연산은 다음과 같이 진행된다. 만약 ''c''<sup>''p''</sup>이 ''p''-코체인이고
-''d''<sup>''q''</sup>이 ''q''-코체인이라면,
+''d''<sup>''q''</sup>이 ''q''-쌍대사슬이라면,
 :<math>(c^p \smile d^q)(\sigma) = c^p(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot d^q(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q})</math>
 여기서 σ 는 [[특이 호몰로지|특이]] (''p'' + ''q'') -[[단체 (수학)|단체]]이고 <math>\iota_S , S \subset \{0,1,...,p+q \} </math> 는 정점이 <math>\{0,...,p+q \}</math>에 있는 <math>(p+q)</math>-단체 안의 S에 의한 단체 다양화 호몰로지 [[매장 (수학)|매장]]이다.
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 약식으로, 각각 <math> \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p}</math>는 σ의 ''p''번째 '''앞면'''이고, <math>\sigma \circ \iota_{p, p+1, ..., p + q}</math>는 σ의 ''q''번째 '''뒷면'''이다.
-쌍대륜체 c<sup>''p''</sup>와 d<sup>''q''</sup>의 컵곱의 [[사슬 복합체]]는
+쌍대사슬 c<sup>''p''</sup>와 d<sup>''q''</sup>의 컵곱의 [[사슬 복합체]]는
 :<math>\delta(c^p \smile d^q) = \delta{c^p} \smile d^q + (-1)^p(c^p \smile \delta{d^q}).</math>
 로 주어진다.
-두 쌍대륜체의 컵곱은 다시 쌍대륜체가 되며, 쌍대륜체 사슬 복합체의 컵곱은 다시 사슬 복합체가 된다. 컵곱 연산은 다음과 같은 코호몰로지 선형 연산을 유도할 수 있다.
+두 쌍대사슬의 컵곱은 다시 쌍대사슬이 되며, 쌍대사슬의 [[사슬 복합체]]의 컵곱은 다시 [[사슬 복합체]]가 된다. 컵곱 연산은 다음과 같은 코호몰로지 선형 연산을 유도할 수 있다.
 : <math> H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X). </math>