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== 정의 == |
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=== 특이단체 === |
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=== 특이단체 === |
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<math>n</math>차원 '''표준단체'''(標準單體, {{lang|en|standard simplex}}) <math>\Delta^n\subset\mathbb R^{n+1}</math>은 다음과 같다. |
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<math>n</math>차원 '''표준 단체'''(標準單體, {{lang|en|standard simplex}}) <math>\Delta^n\subset\mathbb R^{n+1}</math>은 다음과 같다. |
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:<math>\Delta^n=\left\{(x_0,x_1,\dots,x_n)|0\le x_i\le1,\;\sum_ix_i=1\right\}</math>. |
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:<math>\Delta^n=\left\{(x_0,x_1,\dots,x_n)|0\le x_i\le1,\;\sum_ix_i=1\right\}</math>. |
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이는 [[선분]]과 [[삼각형]], [[정사면체|사면체]]를 일반화한 것이다. |
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이는 [[선분]]과 [[삼각형]], [[정사면체|사면체]]를 일반화한 것이다. |
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<math>X</math>가 [[위상공간 (수학)|위상공간]]이라고 하자. <math>X</math> 위의 <math>n</math>차원 '''특이단체'''(特異單體, {{lang|en|singular complex}})는 [[연속함수]] <math>\sigma_n\colon\Delta^n\to X</math>를 뜻한다. <math>X</math> 위의 <math>n</math>차원 '''사슬'''({{lang|en|chain}})은 모든 <math>n</math>차원 특이단체로 의하여 생성되는 자유 [[아벨 군]]의 원소다. 이 아벨 군을 <math>C_n(X)</math>이라고 쓰자. |
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<math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라고 하자. <math>X</math> 위의 <math>n</math>차원 '''특이 단체'''(特異單體, {{lang|en|singular complex}})는 [[연속 함수]] <math>\sigma_n\colon\Delta^n\to X</math>를 뜻한다. <math>X</math> 위의 <math>n</math>차원 '''사슬'''({{lang|en|chain}})은 모든 <math>n</math>차원 특이 단체로 의하여 생성되는 자유 [[아벨 군]]의 원소다. 이 아벨 군을 <math>C_n(X)</math>이라고 쓰자. |
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=== 경계 연산자 === |
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=== 경계 연산자 === |
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표준단체 <math>\Delta^n</math>의 꼭짓점들을 <math>p_1,\dots,p_n</math>이라고 하자. 표준단체 <math>\Delta^n</math>의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 <math>n+1</math>개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어
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표준 단체 <math>\Delta^n</math>의 꼭짓점들을 <math>p_1,\dots,p_n</math>이라고 하자. 표준단체 <math>\Delta^n</math>의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 <math>n+1</math>개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어 |
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:<math>[p_0,p_2,\dots,p_{k-1},p_{k+1},\dots,p_n]</math> |
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:<math>[p_0,p_2,\dots,p_{k-1},p_{k+1},\dots,p_n]</math> |
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의 꼴이다. 이를 편의상 |
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로 쓰자. |
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<math>n</math>차원 특이단체 <math>\sigma_n\colon\Delta^n\to X</math>의 '''경계'''(境界, {{lang|en|boundary}}) <math>\partial_n\sigma_n\in C_{n-1}(X)</math>는 다음과 같다. |
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<math>n</math>차원 특이 단체 <math>\sigma_n\colon\Delta^n\to X</math>의 '''경계'''(境界, {{lang|en|boundary}}) <math>\partial_n\sigma_n\in C_{n-1}(X)</math>는 다음과 같다. |
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:<math>\partial_n\sigma_n=\sum_{k=1}^n(-1)^k\sigma|_{[p_0,\dots,\hat p_k,\dots,p_n]}</math>. |
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:<math>\partial_n\sigma_n=\sum_{k=1}^n(-1)^k\sigma|_{[p_0,\dots,\hat p_k,\dots,p_n]}</math>. |
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경계 연산자 <math>\partial_n</math>는 특이단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 <math>\partial_n\colon C_n\to C_{n-1}</math>이다. 이는 [[아벨 군]]의 [[군 준동형사상]]을 이룬다. 또한, <math>\partial_{n-1}\circ\partial_n\colon C_n(X)\to C_{n-2}(X)</math>는 항상 0이다. 따라서 <math>(C_\bullet(X),\partial_\bullet)</math>은 [[사슬 복합체]]를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 [[호몰로지]] 군 |
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경계 연산자 <math>\partial_n</math>는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 <math>\partial_n\colon C_n\to C_{n-1}</math>이다. 이는 [[아벨 군]]의 [[군 준동형사상]]을 이룬다. 또한, <math>\partial_{n-1}\circ\partial_n\colon C_n(X)\to C_{n-2}(X)</math>는 항상 0이다. 따라서 <math>(C_\bullet(X),\partial_\bullet)</math>은 [[사슬 복합체]]를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 [[호몰로지]] 군 |
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:<math>H_n(X)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}</math> |
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:<math>H_n(X)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}</math> |
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들을 '''특이 호몰로지'''라고 한다. |
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들을 '''특이 호몰로지'''라고 한다. |
대수적 위상수학에서, 특이 호몰로지(特異homology, 영어: singular homology 싱귤러 호몰로지[*])는 단체(simplex)를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다.
정의
특이단체
차원 표준 단체(標準單體, standard simplex) 은 다음과 같다.
- .
이는 선분과 삼각형, 사면체를 일반화한 것이다.
가 위상 공간이라고 하자. 위의 차원 특이 단체(特異單體, singular complex)는 연속 함수 를 뜻한다. 위의 차원 사슬(chain)은 모든 차원 특이 단체로 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 이 아벨 군을 이라고 쓰자.
경계 연산자
표준 단체 의 꼭짓점들을 이라고 하자. 표준단체 의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어
의 꼴이다. 이를 편의상
로 쓰자.
차원 특이 단체 의 경계(境界, boundary) 는 다음과 같다.
- .
경계 연산자 는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 이다. 이는 아벨 군의 군 준동형사상을 이룬다. 또한, 는 항상 0이다. 따라서 은 사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지 군
들을 특이 호몰로지라고 한다.
정수가 아닌 계수를 가진 특이 호몰로지
아벨 군은 환 에 대한 자유 가군이다. 환 를 다른 일반적인 (1을 포함하는) 환 로 대체하여 호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 은 자유 -가군이 되고, 은 (일반적으로 자유롭지 않은) -가군이 된다.
특이 코호몰로지
위의 공사슬(cochain)은 군 준동형사상 이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며, 으로 쓴다. 공사슬의 공경계(coboundary) 은 다음과 같다.
- .
은 공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지 군
들을 특이 코호몰로지(singular cohomology)라고 한다.
예
구
차원 구 의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.
- , ()
- , ()
원환면
차원 원환면 의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.
- .
여기서 는 이항계수로, 인 경우 0으로 정의한다.
사영공간
복소 사영공간 의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.
- (, )
- ( 또는 )
참고 문헌