미분 형식

미분형식(微分形式, 영어: differential form)은 다양체의 여접다발의 외승의 단면이다. 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 $dx$, $dy$ 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, $p$차원의 다양체에서는 $p$-형식을 자연스럽게 적분할 수 있다. 다변수 미적분학 및 미분위상수학 등에서 다루고, 물리학에서도 전기장과 자기장 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓴다. 미분형식의 기호 및 외미분, 쐐기곱 등은 엘리 카르탕이 도입하였다.

정의

자연수 k에 대해, 다양체 상의 여접다발(cotangent bundle)을 외 k승(kth exterior power)한 것의 매끈한 단면(secion of a fiber bundle)을 k차 미분형식, 줄여서 k-형식(k-form)이라 한다. 다양체의 임의의 점 p에 대해, k-형식은 p에서의 접공간(tangent space)의 외 k승으로부터 R로의 다중선형사상을 준다.

다양체 M 위의 모든 k-형식들의 집합은 벡터공간을 이루며, 보통 이를 Ω^k(M)로 나타낸다. k-형식은 완전반대칭 공변 텐서장으로 정의할 수도 있다.

지표 표기법

미분형식은 추상적으로 나타낼 수 있지만, 구체적으로 지표를 가지고 나타낼 수도 있다. $n$차원 다양체에 국소적 좌표계 $\{x^{i}\}_{i=1,\dots ,n}$를 잡으면,

$\{dx^{i}\}_{i=1,\dots ,n}$

는 1차 미분형식들의 기저를 이룬다. 따라서, 임의의 $k$차 미분형식은 다음과 같이 성분으로 전개할 수 있다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.)

$A={\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$

이에 따라서, 예를 들어 리만 계량 $g$에 의한 부피 형식은

$\omega ={\sqrt {\det(g_{ij})}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}={\frac {1}{k!}}\epsilon _{i_{1}\dots i_{n}}{\sqrt {\det(g_{ij})}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}$

이므로,

$\omega _{i_{1}\dots i_{n}}={\sqrt {\det(g_{ij})}}\epsilon _{i_{1}\dots i_{n}}$

이 된다.

쐐기곱

미분형식의 쐐기곱은 각 위치마다 외대수로서의 쐐기곱이다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. 임의의 $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$과 $\beta ,\beta '\in \Omega ^{l}(M)$, $f\in \Omega ^{0}(M)$에 대하여,

• $f\wedge \alpha =f\alpha$
• (분배법칙) $\alpha \wedge (\beta +\beta ')=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \beta '$
• (반대칭성) $\alpha \wedge \beta =(-1)^{kl}\beta \wedge \alpha$

성분으로 적으면 다음과 같다.

$\left({\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\wedge \left({\frac {1}{l!}}B_{j_{1}\dots j_{l}}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{l}}\right)={\frac {1}{(k+l)!}}{\frac {1}{k!l!}}A_{[i_{1}\dots i_{k}}B_{j_{1}\dots j_{l}]}dx^{i_{1}}\wedge \cdots dx^{i_{k}}\wedge dx^{j_{1}}\wedge dx^{j_{l}}$

$(A\wedge B)_{i_{1}\dots i_{k}j_{1}\dots j_{l}}={\frac {1}{k!l!}}A_{[i_{1}\dots i_{k}}B_{j_{1}\dots j_{l}]}$

여기서 $[\dots ]$는 지표의 (규칙화하지 않은) 완전 반대칭화를 뜻한다. 예를 들어, 두 2차 형식 $A$, $B$의 쐐기곱은

$(A\wedge B)_{ijkl}=A_{ij}B_{kl}-A_{jk}B_{li}+A_{kl}B_{ij}-A_{li}B_{jk}-A_{ik}B_{jl}-A_{jl}B_{ik}$

이다.

외미분

미분형식의 외미분(外微分, 영어: exterior derivative)은

$d\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet +1}(M)$

은 다음 세 조건에 의하여 유일하게 정의된다.

• 외미분은 (상수 계수에 대한) 선형변환이다.
• 0차 형식(함수)에 대해, 외미분은 일반 기울기다. 즉, $f\in \Omega ^{0}(M)$에 대하여, $df=\sum _{i=1}^{n}(\partial f/\partial x^{i})dx^{i}$이다.
• 모든 0차 형식에 대해, $d^{2}f=0$이다.
• 임의의 $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$, $\beta \in \Omega ^{\bullet }(M)$에 대하여 $d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta$이다.

성분으로 쓰면, 구체적으로 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.) 임의의 $k$차 미분형식

$A={\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$

에 대하여,

$dA={\frac {1}{k!}}(\partial _{i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}})dx^{i_{0}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}={\frac {1}{(k+1)!k!}}(\partial _{[i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}]})dx^{i_{0}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$

이다. 즉,

$(dA)_{i_{0}\dots i_{k}}={\frac {1}{k!}}\partial _{[i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}]}=\partial _{i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}}-\partial _{i_{1}}A_{i_{0}i_{2}\dots i_{k}}+\partial _{i_{2}}A_{i_{1}i_{0}i_{3}\dots i_{k}}+\cdots +(-1)^{p}\partial _{i_{p}}A_{i_{1}i_{2}\dots i_{p-1}i_{0}i_{p+1}\dots i_{k}}+\cdots +(-)^{k}\partial _{i_{k}}A_{i_{1}\dots i_{k-1}i_{0}}$

이다. 여기서 $[\cdots ]$는 (규격화하지 않은) 완전 반대칭화를 나타낸다. 예를 들어, 1차 형식의 경우

$A=A_{i}dx^{i}$

$dA={\frac {1}{2}}(\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i})dx^{i}\wedge dx^{j}={\frac {1}{2}}(dA)_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j}$

$(dA)_{ij}=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}$

이고, 2차 형식의 경우

$A={\frac {1}{2}}A_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j}$

$dA={\frac {1}{6}}(\partial _{i}A_{jk}+\partial _{j}A_{ki}+\partial _{k}A_{ij})dx^{i}\wedge dx^{j}\wedge dx^{k}={\frac {1}{6}}(dA)_{ijk}dx^{i}\wedge dx^{j}\wedge dx^{k}$

$(dA)_{ijk}=\partial _{i}A_{jk}+\partial _{j}A_{ki}+\partial _{k}A_{ij}$

이다.

미분형식의 내적

만약 $n$차원 미분다양체 $M$ 위에 (유사) 리만 계량 $g$가 주어졌다면, 이를 사용하여 두 미분형식의 내적 $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Omega ^{\bullet }(M)\times \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{0}(M)$을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다.

• 서로 차수가 다른 두 미분형식의 내적은 항상 0이다.
• 내적은 쌍선형이다.
• 임의의 $k$개의 1차 형식 $\eta _{i}$, $\eta '_{j}$에 대하여,

$\langle \eta _{1}\wedge \dots \wedge \eta _{k},\eta '_{1}\wedge \dots \wedge \eta '_{k}\rangle =\det(g(\eta _{i},\eta _{j}))_{ij}$

이다.

즉, 성분으로 쓰면 (아인슈타인 표기법을 가정하자)

$\left\langle {\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}},{\frac {1}{k!}}B_{j_{1}\dots j_{k}}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{k}}\right\rangle ={\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}B_{j_{1}\dots j_{k}}g^{i_{1}j_{1}}\dots g^{i_{k}j_{k}}$

이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다.

$\langle \omega ,\omega \rangle ={\frac {1}{n!}}(\det g)\epsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\epsilon _{j_{1}\dots j_{n}}g^{i_{1}j_{1}}\dots g^{i_{n}j_{n}}=1$.

호지 쌍대

 이 부분의 본문은 호지 쌍대입니다.

$n$차원 유향 (유사) 리만 다양체 $(M,g,\omega )$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 호지 쌍대 연산자를 정의할 수 있다.

$*\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{n-\bullet }(M)$

이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다.

$\alpha \wedge *\beta =\langle \alpha ,\beta \rangle \omega$

성분으로 쓰면 다음과 같다.

$(*A)_{j_{k+1}\dots j_{n}}={\frac {1}{k!}}{\sqrt {|\det g|}}\alpha _{i_{1}\dots i_{k}}\epsilon _{j_{1}\dots j_{n}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}$

예를 들어, 4차원 공간에서 2차 미분 형식의 호지 쌍대는

$(*A)_{kl}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\det g|}}\epsilon _{ijkl}A_{i'j'}g^{ii'}g^{jj'}$

이다.

참고 문헌

• 권영현; 윤달선. 《현대 기하학 입문》. 서울: 경문사. ISBN 89-7282-535-2. 
• Lessig, Christian (2012년 5월 20일). “A Primer on Differential Forms”. arXiv:1206.3323. Bibcode: 2012arXiv1206.3323L.