절댓값: 두 판 사이의 차이

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[[수학]]에서 '''절댓값 (切對-)'''이란, 어떤 [[실수]] a를 [[수직선]]에 대응시켰을 때, 수직선의 원점에서 실수 a까지의 거리를 의미한다. 이것을 기호로 <math>|a|</math>로 나타낸다.
[[수학]]에서 '''절댓값'''(切對-, {{llang|en|absolute value}})이란, 어떤 [[실수]] a를 [[수직선]]에 대응시켰을 때, 수직선의 원점에서 실수 a까지의 거리를 의미한다. 이것을 기호로 <math>|a|</math>로 나타낸다.


절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0또는 양수이어야하며, 만약 실수 a가 음수라면, a에 (-1)을 곱해 양수화시켜야한다.
절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0또는 양수이어야하며, 만약 실수 a가 음수라면, a에 (-1)을 곱해 양수화시켜야한다.
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== 실수 ==
== 실수 ==
[[파일:Absolute value.svg|thumb|절대값 함수]]
[[파일:Absolute value.svg|thumb|절댓값 함수]]
어떠한 [[실수]] a의 절대값은 <math>|a| \,</math>로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.
어떠한 [[실수]] a의 절댓값은 <math>|a| \,</math>로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.
:<math>|a| := \begin{cases} a, & \mbox{if } a \ge 0 \\ -a, & \mbox{if } a < 0. \end{cases} </math>
:<math>|a| := \begin{cases} a, & \mbox{if } a \ge 0 \\ -a, & \mbox{if } a < 0. \end{cases} </math>


정의에 따라, 이 값은 거리이므로 항상 [[0]] 이상이다. 따라서 절대값이 가장 작은 수는 [[0]]이다. 그리고 다음의 정리들이 성립한다.
정의에 따라, 이 값은 거리이므로 항상 [[0]] 이상이다. 따라서 절댓값이 가장 작은 수는 [[0]]이다. 그리고 다음의 정리들이 성립한다.


:<math>|a| = \sqrt{a^2}</math>
:<math>|a| = \sqrt{a^2}</math>
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:<math>|a| \ge b \iff a \le -b \mbox{ or } b \le a </math>
:<math>|a| \ge b \iff a \le -b \mbox{ or } b \le a </math>


이 식을 이용하면 절대값이 들어간 부등식을 쉽게 풀 수 있다.
이 식을 이용하면 절댓값이 들어간 부등식을 쉽게 풀 수 있다.
:<math>|x-3| \le 9 </math>
:<math>|x-3| \le 9 </math>
:<math>\iff -9 \le x-3 \le 9 </math>
:<math>\iff -9 \le x-3 \le 9 </math>
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== 복소수 ==
== 복소수 ==
[[복소수]]중에서는 값들의 크기 비교가 불가능한 경우가 있기 때문에<ref>복소수에도 임의의 순서를 줄 순 있지만, 그렇게 정의한 절대값은 직관적으로 말하는 크기와 대부분 상반된다.</ref>, 실수에서의 정의를 쓸 수 없다. 대신, 앞에서의 성질 중 하나인
[[복소수]]중에서는 값들의 크기 비교가 불가능한 경우가 있기 때문에<ref>복소수에도 임의의 순서를 줄 순 있지만, 그렇게 정의한 절댓값은 직관적으로 말하는 크기와 대부분 상반된다.</ref>, 실수에서의 정의를 쓸 수 없다. 대신, 앞에서의 성질 중 하나인
:<math>|a| = \sqrt{a^2}</math>
:<math>|a| = \sqrt{a^2}</math>
를 이용할 수 있다.
를 이용할 수 있다.
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:<math>|z| := \sqrt{x^2 + y^2}.</math>
:<math>|z| := \sqrt{x^2 + y^2}.</math>


이렇게 정의하면, 앞의 절대값의 성질이 모두 성립하며, 특히 이 정의는 z가 실수일 때에도 성립하게 된다.
이렇게 정의하면, 앞의 절댓값의 성질이 모두 성립하며, 특히 이 정의는 z가 실수일 때에도 성립하게 된다.
:<math> |x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|.</math>
:<math> |x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|.</math>


이때 [[피타고라스의 정리]]에 따라 절대값은 [[원점]]과 복소수 사이의 거리를 의미하게 된다. 더 일반적으로, 두 복소수 사이의 거리는 복소수의 차의 절대값이 된다.
이때 [[피타고라스의 정리]]에 따라 절댓값은 [[원점]]과 복소수 사이의 거리를 의미하게 된다. 더 일반적으로, 두 복소수 사이의 거리는 복소수의 차의 절댓값이 된다.


== 주석 ==
== 주석 ==
{{Reflist}}
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==참고==
==참고 문헌==
* Nahin, Paul J.; [http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 ''An Imaginary Tale'']; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1
* Nahin, Paul J.; [http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 ''An Imaginary Tale'']; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1
* O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.; [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Argand.html "Jean Robert Argand"]
* {{MacTutor|id=Argand|title=Jean Robert Argand}}
* Schechter, Eric; ''Handbook of Analysis and Its Foundations'', pp 259–263, [http://www.amazon.com/gp/reader/0126227608/?keywords=absolute%20value&v=search-inside "Absolute Values"], Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8
* Schechter, Eric; ''Handbook of Analysis and Its Foundations'', pp 259–263, [http://www.amazon.com/gp/reader/0126227608/?keywords=absolute%20value&v=search-inside "Absolute Values"], Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8



2014년 4월 19일 (토) 06:08 판

수학에서 절댓값(切對-, 영어: absolute value)이란, 어떤 실수 a를 수직선에 대응시켰을 때, 수직선의 원점에서 실수 a까지의 거리를 의미한다. 이것을 기호로 로 나타낸다.

절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0또는 양수이어야하며, 만약 실수 a가 음수라면, a에 (-1)을 곱해 양수화시켜야한다.

그리고 복소수, 사원수, 벡터 등에 대해서도 절댓값을 일반화시킬 수 있다.

실수

절댓값 함수

어떠한 실수 a의 절댓값은 로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

정의에 따라, 이 값은 거리이므로 항상 0 이상이다. 따라서 절댓값이 가장 작은 수는 0이다. 그리고 다음의 정리들이 성립한다.

(대칭성)
(삼각부등식)

또한, 다음 식은 유용하게 사용된다.

이 식을 이용하면 절댓값이 들어간 부등식을 쉽게 풀 수 있다.

복소수

복소수중에서는 값들의 크기 비교가 불가능한 경우가 있기 때문에[1], 실수에서의 정의를 쓸 수 없다. 대신, 앞에서의 성질 중 하나인

를 이용할 수 있다.

임의의 복소수

에 대해, 절댓값 는 다음과 같이 정의된다.

이렇게 정의하면, 앞의 절댓값의 성질이 모두 성립하며, 특히 이 정의는 z가 실수일 때에도 성립하게 된다.

이때 피타고라스의 정리에 따라 절댓값은 원점과 복소수 사이의 거리를 의미하게 된다. 더 일반적으로, 두 복소수 사이의 거리는 복소수의 차의 절댓값이 된다.

주석

  1. 복소수에도 임의의 순서를 줄 순 있지만, 그렇게 정의한 절댓값은 직관적으로 말하는 크기와 대부분 상반된다.

참고 문헌