절댓값: 두 판 사이의 차이
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[[수학]]에서 '''절댓값'''(切對-, {{llang|en|absolute value}})이란, 어떤 [[실수]] a를 [[수직선]]에 대응시켰을 때, 수직선의 원점에서 실수 a까지의 거리를 의미한다. 이것을 기호로 <math>|a|</math>로 나타낸다. |
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절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0또는 양수이어야하며, 만약 실수 a가 음수라면, a에 (-1)을 곱해 양수화시켜야한다. |
절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0또는 양수이어야하며, 만약 실수 a가 음수라면, a에 (-1)을 곱해 양수화시켜야한다. |
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[[파일:Absolute value.svg|thumb|절댓값 함수]] |
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어떠한 [[실수]] a의 절댓값은 <math>|a| \,</math>로 표기하며, 다음과 같이 정의된다. |
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:<math>|a| := \begin{cases} a, & \mbox{if } a \ge 0 \\ -a, & \mbox{if } a < 0. \end{cases} </math> |
:<math>|a| := \begin{cases} a, & \mbox{if } a \ge 0 \\ -a, & \mbox{if } a < 0. \end{cases} </math> |
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정의에 따라, 이 값은 거리이므로 항상 [[0]] 이상이다. 따라서 |
정의에 따라, 이 값은 거리이므로 항상 [[0]] 이상이다. 따라서 절댓값이 가장 작은 수는 [[0]]이다. 그리고 다음의 정리들이 성립한다. |
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:<math>|a| \ge b \iff a \le -b \mbox{ or } b \le a </math> |
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이 식을 이용하면 |
이 식을 이용하면 절댓값이 들어간 부등식을 쉽게 풀 수 있다. |
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[[복소수]]중에서는 값들의 크기 비교가 불가능한 경우가 있기 때문에<ref>복소수에도 임의의 순서를 줄 순 있지만, 그렇게 정의한 절댓값은 직관적으로 말하는 크기와 대부분 상반된다.</ref>, 실수에서의 정의를 쓸 수 없다. 대신, 앞에서의 성질 중 하나인 |
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:<math>|z| := \sqrt{x^2 + y^2}.</math> |
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이렇게 정의하면, 앞의 절댓값의 성질이 모두 성립하며, 특히 이 정의는 z가 실수일 때에도 성립하게 된다. |
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:<math> |x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|.</math> |
:<math> |x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|.</math> |
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이때 [[피타고라스의 정리]]에 따라 |
이때 [[피타고라스의 정리]]에 따라 절댓값은 [[원점]]과 복소수 사이의 거리를 의미하게 된다. 더 일반적으로, 두 복소수 사이의 거리는 복소수의 차의 절댓값이 된다. |
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== 주석 == |
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==참고== |
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* Nahin, Paul J.; [http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 ''An Imaginary Tale'']; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1 |
* Nahin, Paul J.; [http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 ''An Imaginary Tale'']; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1 |
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* {{MacTutor|id=Argand|title=Jean Robert Argand}} |
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* Schechter, Eric; ''Handbook of Analysis and Its Foundations'', pp 259–263, [http://www.amazon.com/gp/reader/0126227608/?keywords=absolute%20value&v=search-inside "Absolute Values"], Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8 |
* Schechter, Eric; ''Handbook of Analysis and Its Foundations'', pp 259–263, [http://www.amazon.com/gp/reader/0126227608/?keywords=absolute%20value&v=search-inside "Absolute Values"], Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8 |
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2014년 4월 19일 (토) 06:08 판
수학에서 절댓값(切對-, 영어: absolute value)이란, 어떤 실수 a를 수직선에 대응시켰을 때, 수직선의 원점에서 실수 a까지의 거리를 의미한다. 이것을 기호로 로 나타낸다.
절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0또는 양수이어야하며, 만약 실수 a가 음수라면, a에 (-1)을 곱해 양수화시켜야한다.
그리고 복소수, 사원수, 벡터 등에 대해서도 절댓값을 일반화시킬 수 있다.
실수
어떠한 실수 a의 절댓값은 로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.
정의에 따라, 이 값은 거리이므로 항상 0 이상이다. 따라서 절댓값이 가장 작은 수는 0이다. 그리고 다음의 정리들이 성립한다.
- (대칭성)
- (삼각부등식)
또한, 다음 식은 유용하게 사용된다.
이 식을 이용하면 절댓값이 들어간 부등식을 쉽게 풀 수 있다.
복소수
복소수중에서는 값들의 크기 비교가 불가능한 경우가 있기 때문에[1], 실수에서의 정의를 쓸 수 없다. 대신, 앞에서의 성질 중 하나인
를 이용할 수 있다.
임의의 복소수
에 대해, 절댓값 는 다음과 같이 정의된다.
이렇게 정의하면, 앞의 절댓값의 성질이 모두 성립하며, 특히 이 정의는 z가 실수일 때에도 성립하게 된다.
이때 피타고라스의 정리에 따라 절댓값은 원점과 복소수 사이의 거리를 의미하게 된다. 더 일반적으로, 두 복소수 사이의 거리는 복소수의 차의 절댓값이 된다.
주석
- ↑ 복소수에도 임의의 순서를 줄 순 있지만, 그렇게 정의한 절댓값은 직관적으로 말하는 크기와 대부분 상반된다.
참고 문헌
- Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1
- O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Jean Robert Argand”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.
- Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp 259–263, "Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8
이 글은 수학에 관한 토막글입니다. 여러분의 지식으로 알차게 문서를 완성해 갑시다. |