라플라스 변환: 두 판 사이의 차이

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연립 상미분 방정식의 풀이 추가
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특정한 <math> e^{-st}</math> 형태의 주파수로 표현할 수 있다.
특정한 <math> e^{-st}</math> 형태의 주파수로 표현할 수 있다.
-->
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== 미분방정식의 풀이 ==

=== 상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식 ===
다음과 같은 <math>n</math>차 연립 [[상미분 방정식]]을 고려하자
:<math>
\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t).
</math>
양변에 라플라스 변환을 취하면
:<math>
\mathbf{X}(s) - \mathbf{x}(0) = \mathbf{A}\mathbf{X}(s) + \mathbf{B}\mathbf{U}(s),
</math>
이고 이를 <math>\mathbf{X}(s)</math>에 관해 정리하면
:<math>
\mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{x}(0) + (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}(s),
</math>
이다. 따라서, <math>\mathbf{x}(t)</math>는 다음과 같다.
:<math>
\mathbf{x}(t) = \exp\left[\mathbf{A}t\right]\mathbf{x}(0) + \int_{0}^{t}\exp\left[\mathbf{A}(t-\tau)\right]\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau)\,d\tau.
</math>


== 같이 보기 ==
== 같이 보기 ==

2013년 9월 6일 (금) 15:17 판

라플라스 변환(Laplace transform)은 어떠한 함수 에서 다른 함수로의 변환으로, 선형 동역학계와 같은 미분 방정식을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 따 붙여졌다.

라플라스 변환을 이용하면, 어려운 식들을 쉽게 변환하여 풀 수 있으며, 문제들을 직접적으로 해결 할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식은 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다.

정의

함수 의 라플라스 변환은 모든 실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수 로 정의된다.

여기서 를 간단히 나타낸 것이고 복소수 , σ와 ω는 실수이다.

실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않지만 로 표기하기도 한다.


성질

선형성

미분

적분

t shifting

참고: 층계 함수이다.

합성곱

주기가 p인 주기함수의 라플라스 변환

미분방정식의 풀이

상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식

다음과 같은 차 연립 상미분 방정식을 고려하자

양변에 라플라스 변환을 취하면

이고 이를 에 관해 정리하면

이다. 따라서, 는 다음과 같다.

같이 보기