65번째 줄:
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특정한 <math> e^{-st}</math> 형태의 주파수로 표현할 수 있다.
특정한 <math> e^{-st}</math> 형태의 주파수로 표현할 수 있다.
-->
-->
== 미분방정식의 풀이 ==
=== 상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식 ===
다음과 같은 <math>n</math>차 연립 [[상미분 방정식]]을 고려하자
:<math>
\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t).
</math>
양변에 라플라스 변환을 취하면
:<math>
\mathbf{X}(s) - \mathbf{x}(0) = \mathbf{A}\mathbf{X}(s) + \mathbf{B}\mathbf{U}(s),
</math>
이고 이를 <math>\mathbf{X}(s)</math>에 관해 정리하면
:<math>
\mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{x}(0) + (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}(s),
</math>
이다. 따라서, <math>\mathbf{x}(t)</math>는 다음과 같다.
:<math>
\mathbf{x}(t) = \exp\left[\mathbf{A}t\right]\mathbf{x}(0) + \int_{0}^{t}\exp\left[\mathbf{A}(t-\tau)\right]\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau)\,d\tau.
</math>
== 같이 보기 ==
== 같이 보기 ==
2013년 9월 6일 (금) 15:17 판
라플라스 변환 (Laplace transform)은 어떠한 함수
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
에서 다른 함수로의 변환으로, 선형 동역학계 와 같은 미분 방정식 을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스 의 이름을 따 붙여졌다.
라플라스 변환을 이용하면, 어려운 식들을 쉽게 변환하여 풀 수 있으며, 문제들을 직접적으로 해결 할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식은 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다.
정의
함수
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
의 라플라스 변환은 모든 실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
로 정의된다.
F
(
s
)
=
L
{
f
}
(
s
)
=
∫
0
−
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}
여기서
0
−
{\displaystyle 0^{-}}
는
lim
ϵ
→
+
0
−
ϵ
{\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow +0}-\epsilon }
를 간단히 나타낸 것이고 복소수
s
=
σ
+
i
ω
{\displaystyle s=\sigma +i\omega \,}
, σ와 ω는 실수이다.
실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않지만
F
(
s
)
=
L
{
f
(
t
)
}
{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}
로 표기하기도 한다.
성질
L
{
a
f
(
t
)
+
b
g
(
t
)
}
=
a
L
{
f
(
t
)
}
+
b
L
{
g
(
t
)
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}}
L
{
f
′
}
=
s
L
(
f
)
−
f
(
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}(f)-f(0)}
L
{
f
″
}
=
s
2
L
(
f
)
−
s
f
(
0
)
−
f
′
(
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}(f)-sf(0)-f'(0)}
L
{
f
(
n
)
}
=
s
n
L
{
f
}
−
s
n
−
1
f
(
0
)
−
⋯
−
f
(
n
−
1
)
(
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)}
L
{
t
f
(
t
)
}
=
−
F
′
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)}
L
{
t
n
f
(
t
)
}
=
(
−
1
)
n
F
(
n
)
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}F^{(n)}(s)}
L
{
f
(
t
)
t
}
=
∫
s
∞
F
(
σ
)
d
σ
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma }
L
{
∫
0
t
f
(
τ
)
d
τ
}
=
L
{
u
(
t
)
∗
f
(
t
)
}
=
1
s
F
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}={\mathcal {L}}\left\{u(t)*f(t)\right\}={1 \over s}F(s)}
t shifting
L
{
f
(
t
−
a
)
u
(
t
−
a
)
}
=
e
−
a
s
F
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)}
L
−
1
{
e
−
a
s
F
(
s
)
}
=
f
(
t
−
a
)
u
(
t
−
a
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)}
참고:
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
는 층계 함수 이다.
L
{
f
∗
g
}
=
L
{
f
}
L
{
g
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}={\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}}
주기가 p인 주기함수 의 라플라스 변환
L
{
f
}
=
1
1
−
e
−
p
s
∫
0
p
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-ps}}\int _{0}^{p}e^{-st}f(t)\,dt}
미분방정식의 풀이
상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식
다음과 같은
n
{\displaystyle n}
차 연립 상미분 방정식 을 고려하자
x
˙
(
t
)
=
A
x
(
t
)
+
B
u
(
t
)
.
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t).}
양변에 라플라스 변환을 취하면
X
(
s
)
−
x
(
0
)
=
A
X
(
s
)
+
B
U
(
s
)
,
{\displaystyle \mathbf {X} (s)-\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (s)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s),}
이고 이를
X
(
s
)
{\displaystyle \mathbf {X} (s)}
에 관해 정리하면
X
(
s
)
=
(
s
I
−
A
)
−
1
x
(
0
)
+
(
s
I
−
A
)
−
1
B
U
(
s
)
,
{\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \mathbf {U} (s),}
이다. 따라서,
x
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {x} (t)}
는 다음과 같다.
x
(
t
)
=
exp
[
A
t
]
x
(
0
)
+
∫
0
t
exp
[
A
(
t
−
τ
)
]
B
u
(
τ
)
d
τ
.
{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\exp \left[\mathbf {A} t\right]\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}\exp \left[\mathbf {A} (t-\tau )\right]\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,d\tau .}
같이 보기