함자 (수학)

범주론에서 함자(函子, 영어: functor 펑터^[*])는 두 범주 사이의 함수에 해당하는 구조로, 대상을 대상으로, 사상을 사상으로 대응시킨다. 함자는 작은 범주의 범주의 사상으로 볼 수 있다.

함자의 개념은 대수적 위상수학에서 위상공간에 대해 기본군 등의 대수적 구조를 대응시키면서 나타났다. 현재는 현대 수학의 거의 모든 분야에서 다양한 범주들 사이의 관계를 나타내기 위해 함자의 개념을 사용한다.

어원

‘독일어: Funktor 풍크토어^[*]’라는 단어는 원래 철학자 루돌프 카르나프가 1934년에 언어철학에서 정의한 용어다. 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 카르나프의 용어를 ‘영어: functor 펑터^[*]’로 수학에 차용하였다.

정의

C와 D가 범주라 하자. 이때 C와 D 사이의 함자 $F\colon C\to D$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• C의 임의의 대상 X에 대해 대응되는 D의 대상 $F(X)$
• C의 임의의 사상 $f\colon X\to Y$에 대해 대응되는 D의 사상 $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• (항등사상의 보존) $F(\operatorname {id} _{X})=\operatorname {id} _{F(X)}$이다.
• (사상 합성의 보존) C의 임의의 사상 $f\colon X\to Y$와 $g\colon Y\rightarrow Z$에 대해 $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$

즉, 함자는 항등사상과 사상의 합성을 보존한다.

정의역과 공역이 같은 범주인 함자를 자기함자(自己函子, 영어: endofunctor 엔도펑터^[*])라고 한다.

공변함자과 반변함자

수학에서는 사상의 방향을 바꾸는 함자를 생각해야 하는 경우도 많이 있다. 따라서 F가 C에서 D로의 반변함자(反變函子, 영어: contravariant functor)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• C의 임의의 대상 X에 대해 대응되는 D의 대상 $F(X)$
• C의 임의의 사상 $f\colon X\to Y$에 대해 대응되는 D의 사상 $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• (항등사상의 보존) $F(\operatorname {id} _{X})=\operatorname {id} _{F(X)}$이다.
• (사상 합성의 반변) C의 임의의 사상 $f\colon X\to Y$와 $g\colon Y\rightarrow Z$에 대해 $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$

즉, 반변함자가 합성사상을 보낼 때 두 사상의 순서가 바뀐다. 위에서 정의한 사상의 방향을 바꾸지 않는 보통의 함자는 반변함자와 구분하기 위해 공변함자(共變函子, 영어: covariant functor)라고 한다. 다른 방법으로, 범주의 반변함자를 것을 그 쌍대범주의 공변함자로서 정의할 수도 있다. 일부 저자들은 모든 함자를 공변적으로 서술하는 쪽을 선호하며, 따라서 $F:C\rightarrow D$가 반변함자라고 말하는 대신 $F:C^{op}\rightarrow D$(혹은 $F:C\rightarrow D^{op}$)가 (공변)함자라고 말한다.

예

상수 함자(영어: identity functor): C의 모든 대상에 대해 D의 특정한 대상 X를 대응시키고, C의 모든 사상에 대해 X 상의 항등사상을 대응시키는 함자를 상수 함자 혹은 선택 함자라고 한다.

대각 함자(영어: diagonal functor): D의 대상 X를 X 상의 상수 함자로 보내는 함자를 대각 함자라고 한다. 이는 D에서 함자 범주 D^C로의 함자이다.