귀류법: 두 판 사이의 차이

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2013년 3월 31일 (일) 16:30 판

귀류법(歸謬法, 조선말: 귀유법), 배리법(背理法) 또는 반증법(反證法)은 어떤 주장에 대해 그 함의하는 내용을 따라가다보면 이치에 닿지 않는 내용 또는 결론에 이르게 된다는 것을 보여서 그 주장이 잘못된 것임을 보이는 것이다.^[1] 영어권에서는 라틴어로 "레둑티오 아드 아브수르둠(Reductio ad absurdum)"이라고 하며 이것의 해당 영어 번역은 "리덕션 투 더 업설드(reduction to the absurd)"이다. 수학에서는 특히 귀류법 또는 배리법이라고 부르며, 수학의 귀류법은 어떤 수학적 명제가 참인 것을 증명하는 수학적 증명 방법 중 하나이다. 수학의 귀류법은 영어로 "Proof by contradiction (프루프 바이 컨트러딕션 · 모순에 의한 증명)"이라고 한다.

단어들의 의미

문자 그대로의 뜻에 의거할 때, 귀류법 · 배리법 · 반증법 · 레둑티오 아드 아브수르둠 등의 단어들의 뜻은 다음과 같다.

귀류법(歸謬法): 오류로 귀착된다는 것을 보임
배리법(背理法): 이치에 어긋나게 된다는 것을 보임
반증법(反證法): 반대 증거가 나타나게 된다는 것을 보임
레둑티오 아드 아브수르둠(Reductio ad absurdum): 터무니 없는 것으로 돌아가게 되는 것을 보임

수학의 귀류법

수학에서 귀류법 · 배리법은 증명하려는 명제의 결론이 부정이라는 것을 가정하였을 때 모순되는 가정이 나온다는 것을 보여, 원래의 명제가 참인 것을 증명하는 방법이다. 귀류법은 유클리드가 2000년 전 소수의 무한함을 증명하기 위해 사용하였을 정도로 오래된 증명법이다.

예를 들어 ${\sqrt {2}}$ 가 유리수가 아님을 귀류법으로 증명하기 위해서는 다음과 같은 과정을 따른다.

${\sqrt {2}}$ 가 유리수라고 가정한다. 따라서 ${\sqrt {2}}={\frac {b}{a}}$ 으로 둘 수 있다. ( $a,b$ 는 서로소인 자연수)
$2a^{2}=b^{2}$ 이므로 $b^{2}$ 는 2의 배수이다.
$b^{2}$ 이 2의 배수이므로, $b$ 도 2의 배수이다. 따라서 $b=2b'$ 로 둘 수 있다. (여기서 $b'$ 는 자연수)
$a^{2}={\frac {1}{2}}b^{2}=2b'^{2}$ 이므로 $a^{2}$ 은 2의 배수이다. $a^{2}$ 이 2의 배수이므로, $a$ 도 2의 배수이다.
이는 $a,b$ 가 서로소라는 가정에 모순이다. 따라서 ${\sqrt {2}}$ 는 유리수가 아니다.

주석

↑ Nicholas Rescher. “Reductio ad absurdum”. 《The Internet Journal of Philosophy》. 2011년 1월 25일에 확인함.

함께 보기

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[IEP-1] Nicholas Rescher. “Reductio ad absurdum”. 《The Internet Journal of Philosophy》. 2011년 1월 25일에 확인함.

[1]

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 #<math>2a^{2} = b^{2}</math>이므로 <math>b^{2}</math>는 2의 배수이다.
 #<math>b^{2}</math>이 2의 배수이므로, <math>b</math>도 2의 배수이다. 따라서 <math>b=2b'</math>로 둘 수 있다. (여기서 <math>b'</math>는 자연수)
-#<math>a^{2}=\frac{1}{2}b^{2}=2b'^{2}</math>이므로 <math>a</math>는 2의 배수이다.
+#<math>a^{2}=\frac{1}{2}b^{2}=2b'^{2}</math>이므로 <math>a^{2}</math>은 2의 배수이다. <math>a^{2}</math>이 2의 배수이므로, <math>a</math>도 2의 배수이다.
-#이는 <math>a, b</math>가 서로소라는 가정에 모순이다. 따라서 <math>\sqrt{2}</math>는 유리수가  아니다.
+#이는 <math>a, b</math>가 [[서로소]]라는 가정에 모순이다. 따라서 <math>\sqrt{2}</math>는 유리수가  아니다.
 ==주석==