함자 (수학)

범주론에서 펑터(functor)는 범주들 사이에 정의된 일종의 사상이다. 이는 작은 범주의 범주의 사상으로 볼 수 있다.

펑터의 개념은 대수적 위상수학에서 위상공간에 대해 기본군 등의 대수적 구조를 대응시키면서 나타났다. 현재는 현대 수학의 거의 모든 분야에서 다양한 범주들 사이의 관계를 나타내기 위해 펑터의 개념을 사용한다. "Functor"(펑터)라는 단어는 철학자 루돌프 카르납(Rudolf Carnap)으로부터 수학자들이 빌려쓴 것이다.

정의

C와 D가 범주라 하자. 이때 F가 C에서 D로의 펑터라는 것은

• C의 임의의 대상 X에 대해 D의 대상 F(X)가 대응되며,
• C의 임의의 사상 f:X -> Y에 대해 D의 사상 F(f):F(X) -> F(Y)가 대응되고,
• C의 임의의 대상 X에 대해 $F(id_{X})=id_{F(X)}$이며,
• C의 임의의 사상 $f:X\rightarrow Y$와 $g:Y\rightarrow Z$에 대해 $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$임을 말한다.

즉, 펑터는 항등사상과 사상의 합성을 보존한다. 정의역과 공역이 같은 범주인 펑터를 자기펑터(endofunctor)라고 한다.

공변성과 반변성

수학에서는 사상의 방향을 바꾸는 펑터를 생각해야 하는 경우도 많이 있다. 따라서 F가 C에서 D로의 반변펑터(contravariant functor)라는 것을 다음의 경우로 정의한다:

• C의 임의의 대상 X에 대해 D의 대상 F(X)가 대응되며,
• C의 임의의 사상 f:X -> Y에 대해 D의 사상 F(f):F(Y) -> F(X)가 대응되고,
• C의 임의의 대상 X에 대해 $F(id_{X})=id_{F(X)}$이며,
• C의 임의의 사상 $f:X\rightarrow Y$와 $g:Y\rightarrow Z$에 대해 $F(f\circ g)=F(g)\circ F(f)$이다.

반변펑터가 합성사상을 보낼 때 두 사상의 순서가 바뀜에 주의하라. 위에서 정의한 사상의 방향을 바꾸지 않는 보통의 펑터는 반변펑터와 구분하기 위해 공변펑터(covariant functor)라고 한다. 다른 방법으로, 범주의 반변펑터라는 것을 그 쌍대범주의 공변펑터로 정의할 수도 있다. 일부 저자들은 모든 펑터를 공변적으로 서술하는 쪽을 선호하며, 따라서 $F:C\rightarrow D$가 반변펑터라고 말하는 대신 $F:C^{op}\rightarrow D$(혹은 $F:C\rightarrow D^{op}$)가 펑터라고 말한다.

예

상수 펑터: C의 모든 대상에 대해 D의 특정한 대상 X를 대응시키고, C의 모든 사상에 대해 X 상의 항등사상을 대응시키는 펑터를 '상수 펑터' 혹은 '선택 펑터'라고 한다.

대각 펑터: D의 대상 X를 X 상의 상수 펑터로 보내는 펑터를 대각 펑터라고 한다. 이는 D에서 펑터 범주 D^C로의 펑터이다.