단위원

항등원을 ‘단위원’으로 부르기도 합니다.

단위원(單位圓)은 반경이 1인 원이다. 특별히 해석기하학에서는 원점 (0, 0) 을 중심으로 하는 반경이 1인 원을 말한다. 즉, 원점으로부터 거리가 1 인 점의 자취이다.

많은 경우 단위원은 S¹ 으로 표시한다. 이것은 일반적인 n 차원 구면(sphere) 개념 중 n = 1 의 경우를 뜻한다.

S¹ = {(x, y) ∈ R² | (x² + y²)^1/2 = 1}.

삼각함수

 이 부분의 본문은 삼각함수입니다.

단위원 위의 임의의 점의 좌표는 각도 θ (0 ≤ θ < 2π)의 사인함수와 코사인함수를 이용해

(cos θ, sin θ)

라고 쓸 수 있다. 이것은 두 삼각함수의 정의 그 자체이기도 하다.

복소평면의 단위원

복소평면상의 단위원은 절대값이 1 인 복소수의 자취

{z ∈ C | |z| = 1} = {exp(iθ) | 0 ≤ θ < 2π}

가 된다 (exp 는 자연대수의 밑인 e 을 밑으로 하는 복소변수 지수함수). 이 집합은 복소수의 통상의 곱에 관해서 닫혀 있고 군(群, group)을 이루어 원주군 (circle group)으로 불리기도 한다. 이것은 또 1 차원의 유니타리 군으로 불리는리 군이며 U(1)라고 표시한다.