당김 (미분기하학): 두 판 사이의 차이
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== 정의 == |
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<math>\phi\colon M\to N</math>을 미분가능한 함수라고 하고, <math>\omega(v_1,\dots,v_k)</math>가 <math>k</math>차 공변 텐서(<math>k</math>개의 (반변) 벡터를 받는 함수)라고 하자. 그렇다면 이 데이터로부터 <math>M</math> 위에 정의된 <math>k</math>차 텐서 <math>\phi^*\omega</math>를 다음과 같이 정할 수 있다. |
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유클리드 공간에서 미분형식의 '''당김'''은 다음과 같다. |
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여기서 <math>p\in M</math>, <math>v_i\in T_pM</math> (점 <math>p</math>에서의 [[접공간]]), <math>d\phi_p\colon T_pM\to T_pN</math>은 점 <math>p</math>에서 <math>\phi</math>의 [[미분]]이다. |
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(스칼라) 함수는 0차 공변 텐서이다. 이 경우, 함수 <math>f</math>의 당김은 [[합성함수|함수의 합성]]과 같다. 즉, |
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''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup> 를 미분가능한 [[함수]]라 하자. 이러한 함수가 주어지면 '''R'''<sup>''n''</sup> 에서의 [[미분형식|''k''-형식]] ω 를 '''R'''<sup>''m''</sup> 에서의 ''k''-형식으로 바꾸는 ''f''에 의해 유도된 함수 ''f'' <sup>*</sup> 를 생각할 수 있다. |
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이다. |
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여기서 ''p'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>, ''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''k''</sub> ∈ '''R'''<sup>''n''</sup><sub>''p''</sub> ('''R'''<sup>''n''</sup> 에서의 점 ''p'' 에서의 [[접공간]]), ''df''<sub>''p''</sub> : '''R'''<sup>''n''</sup><sub>''p''</sub> → '''R'''<sup>''m''</sup><sub>''f''(''p'')</sub> 는 점 ''p'' 에서 ''f'' 의 [[미분]]이다. |
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이는 변수의 치환과 동등하기 때문에 관습적으로 당김을 다음과 같이 쓰기도 한다. |
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''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>, ''g'' : '''R'''<sup>''p''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup> 를 미분가능한 [[함수]], α 와 β 를 '''R'''<sup>''m''</sup> 에서의 ''k''-형식, ''γ'' : '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R''' 를 '''R'''<sup>''m''</sup> 에서의 0-형식이라 하자. 이 때, 다음이 성립한다. |
''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>, ''g'' : '''R'''<sup>''p''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup> 를 미분가능한 [[함수]], α 와 β 를 '''R'''<sup>''m''</sup> 에서의 ''k''-형식, ''γ'' : '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R''' 를 '''R'''<sup>''m''</sup> 에서의 0-형식이라 하자. 이 때, 다음이 성립한다. |
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*<math> f^* (\alpha + \beta ) = f^* (\alpha) + f^* (\beta) \;</math> |
*<math> f^* (\alpha + \beta ) = f^* (\alpha) + f^* (\beta) \;</math> |
2013년 2월 22일 (금) 07:38 판
미분기하학에서, 당김(pullback)이란 한 다양체 위에 정의된 공변(covariant) 텐서를 다른 다양체 위에 옮겨 정의하는 방법이다.
두 매끈한 미분다양체 사이의 매끈한 함수 이 주어지면, 위에 존재하는 모든 공변 텐서 (즉, 첨자가 모두 아랫첨자인 경우) 에 대하여, 위에 대응하는 텐서 를 정의할 수 있다. 이를 의 당김이라고 한다. 특히, 미분형식이나 (스칼라) 함수는 공변 텐서의 특수한 경우이므로, 이들을 다른 다양체로 당길 수 있다.
정의
을 미분가능한 함수라고 하고, 가 차 공변 텐서(개의 (반변) 벡터를 받는 함수)라고 하자. 그렇다면 이 데이터로부터 위에 정의된 차 텐서 를 다음과 같이 정할 수 있다.
- .
여기서 , (점 에서의 접공간), 은 점 에서 의 미분이다.
(스칼라) 함수는 0차 공변 텐서이다. 이 경우, 함수 의 당김은 함수의 합성과 같다. 즉,
이다.
성질
f : Rn → Rm, g : Rp → Rn 를 미분가능한 함수, α 와 β 를 Rm 에서의 k-형식, γ : Rm → R 를 Rm 에서의 0-형식이라 하자. 이 때, 다음이 성립한다.
- 여기서 α1, …, αk 가 Rm 에서의 1-형식이고 ∧ 는 쐐기곱이다.
- 여기선 α 와 β 가 같은 계수를 가질 필요는 없다.
참고문헌
- Manfredo P. do Carmo. 《Differential Forms and Applications》. Springer-Verlag.