당김 (미분기하학): 두 판 사이의 차이

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[[미분기하학]]에서, '''당김'''({{lang|en|pullback}})이란 한 다양체 위에 정의된 공변({{lang|en|covariant}}) 텐서를 다른 다양체 위에 옮겨 정의하는 방법이다.

두 매끈한 [[미분다양체]] 사이의 [[매끈한 함수]] <math>\phi\colon M\to N</math>이 주어지면, <math>N</math> 위에 존재하는 모든 공변 [[텐서]] (즉, 첨자가 모두 아랫첨자인 경우) <math>T=T_{\mu\nu\rho\dots}</math>에 대하여, <math>M</math> 위에 대응하는 텐서 <math>\Phi^*T</math>를 정의할 수 있다. 이를 <math>T</math>의 당김이라고 한다. 특히, [[미분형식]]이나 (스칼라) 함수는 공변 텐서의 특수한 경우이므로, 이들을 다른 다양체로 당길 수 있다.

== 정의 ==
유클리드 공간에서 미분형식의 '''당김'''은 다음과 같다.
유클리드 공간에서 미분형식의 '''당김'''은 다음과 같다.



2013년 2월 22일 (금) 07:29 판

미분기하학에서, 당김(pullback)이란 한 다양체 위에 정의된 공변(covariant) 텐서를 다른 다양체 위에 옮겨 정의하는 방법이다.

두 매끈한 미분다양체 사이의 매끈한 함수 이 주어지면, 위에 존재하는 모든 공변 텐서 (즉, 첨자가 모두 아랫첨자인 경우) 에 대하여, 위에 대응하는 텐서 를 정의할 수 있다. 이를 의 당김이라고 한다. 특히, 미분형식이나 (스칼라) 함수는 공변 텐서의 특수한 경우이므로, 이들을 다른 다양체로 당길 수 있다.

정의

유클리드 공간에서 미분형식의 당김은 다음과 같다.

f : RnRm 를 미분가능한 함수라 하자. 이러한 함수가 주어지면 Rn 에서의 k-형식 ω 를 Rm 에서의 k-형식으로 바꾸는 f에 의해 유도된 함수 f * 를 생각할 수 있다.

여기서 pRn, v1, …, vkRnp (Rn 에서의 점 p 에서의 접공간), dfp : RnpRmf(p) 는 점 p 에서 f미분이다.

이는 변수의 치환과 동등하기 때문에 관습적으로 당김을 다음과 같이 쓰기도 한다.

성질

f : RnRm, g : RpRn 를 미분가능한 함수, α 와 β 를 Rm 에서의 k-형식, γ : RmRRm 에서의 0-형식이라 하자. 이 때, 다음이 성립한다.

여기서 α1, …, αkRm 에서의 1-형식이고 ∧ 는 쐐기곱이다.
여기선 α 와 β 가 같은 계수를 가질 필요는 없다.

참고문헌

  • Manfredo P. do Carmo. 《Differential Forms and Applications》. Springer-Verlag.