헤세 행렬

수학에서 헤시안 행렬(Hessian matrix), 또는 헤세의 행렬은 어떤 함수의 이계도함수를 행렬로 표현한 것이다. 이 행렬은 독일의 수학자 루트비히 오토 헤세의 이름을 따서 명명되었다. 헤시안 행렬은 다변수함수가 극값을 가질 때, 그것이 극대인지, 극소인지 판정할 때 사용한다.

정의

실변수 함수 $f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})$이 주었을 때, 헤시안 행렬은 다음과 같이 주어진다.

$H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}$

헤시안 행렬은, 함수의 기울기벡터 $\nabla f$에 대한 야코비 행렬로도 설명이 가능하다.

함수 $f$의 이계도함수가 연속이라면 혼합 편미분은 같다. 그 때 이 행렬은 대칭행렬이다.

테일러 급수와 헤시안 행렬

 테일러 급수 문서를 참고하십시오.

함수 $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$의 $n=2$인 테일러 급수는 헤시안 행렬을 이용해서 나태낼 수 있다.

$\mathbf {h} \in \mathbb {R} ^{n}$에 대해 $f\left(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} \right)=f\left(\mathbf {x} _{0}\right)+J\left(\mathbf {x} \right)\mathbf {h} +\mathbf {h} ^{T}H\left(f\right)\left(\mathbf {x} _{0}\right)\left(\mathbf {h} \right)$ (여기서 $\mathbf {h} ^{T}$는 $\mathbf {h}$가 열벡터라고 할때 그 전치행렬인 행벡터를 의미한다.)

만약 $\mathbf {x} _{0}$가 임계점이라면 $\mathbf {D} f\left(\mathbf {x} _{0}\right)=0$이므로 $\mathbf {h} \in \mathbb {R} ^{n}$에 대해 $f\left(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} \right)=f\left(\mathbf {x} _{0}\right)+\mathbf {h} ^{T}H\left(f\right)\left(\mathbf {x} _{0}\right)\left(\mathbf {h} \right)$ 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫번째 항이 바로 헤시안 행렬이 되는 셈이다.

함께 보기

• 야코비 행렬
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hessian”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.