현 (기하학)

직선BX인 현(chord)과 점BX의 곡선인 호(arc)

현(영어: Chord)은 원의 둘레 상의 두 점을 연결한 선분을 말한다. 원의 중심을 지나는 현이 그 원의 지름이다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현의 중점을 지나며, 역으로 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다. 또, 같은 원 또는 같은 크기의 원에 있어서 길이가 같은 현은 중심에서 같은 거리에 있다. 그렇다고 해서 원의 중심과 떨어진 거리에 비례하여 현의 길이가 비례하는 것은 아니다. 끝으로,일반적인 정의로서 곡선상의 2점을 잇는 선분도 현이라 한다.

성질

현은 원 둘레를 2개 호로 나눈다. 현은 원에 내접하는 정다각형의 한변이 될수있다. 현은 호(arc)와 함께 활꼴(circular segment)을 이룬다.

현과 직경과의 관계

(예시) 유클리드 기하학 원론 제3권 법칙35

${\overline {AB}}$가 원의 중심을 지나 현 ${\overline {CD}}$를 수직이등분할때

${\overline {OC}}^{2}={\overline {CE}}^{2}+{\overline {OE}}^{2}$

${\overline {OC}}={\overline {OB}}={\overline {AO}}$

${\overline {OB}}={\overline {OE}}+{\overline {EB}}$

따라서

${\overline {CE}}^{2}={\overline {OC}}^{2}-{\overline {OE}}^{2}$

${\overline {CE}}^{2}={\overline {AO}}^{2}-{\overline {OE}}^{2}$

그리고

${\overline {AO}}^{2}-{\overline {OE}}^{2}=\left({\overline {AO}}-{\overline {OE}}\right)\left({\overline {AO}}+{\overline {OE}}\right)$

${\overline {AO}}^{2}-{\overline {OE}}^{2}=\left({\overline {EB}}\right)\left({\overline {AE}}\right)$

따라서

$\left({\overline {CE}}\right)\left({\overline {CE}}\right)=\left({\overline {EB}}\right)\left({\overline {AE}}\right)$

$\left({\overline {CE}}\right)\left({\overline {ED}}\right)=\left({\overline {EB}}\right)\left({\overline {AE}}\right)$이다.

이렇게 현의 길이와 직경(지름)의 길이는 일대일 대응한다.

정다각형과 현

단위원에 내접하는 정다각형의 한변인 현의 길이

정다각형(n)	변심거리	현의 길이
3	${{1} \over {2}}$	${\sqrt {3}}$
4	${{\sqrt {2}} \over {2}}$	${\sqrt {2}}$
5	${\sqrt {{5+2{\sqrt {5}}} \over {10+2{\sqrt {5}}}}}$	${{2{\sqrt {5}}} \over {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$
6	${{\sqrt {3}} \over {2}}$	${\sqrt {1}}$
8	예시	${\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$
12	예시	${{{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}} \over {2}}$

같이 보기

• 할선
• 접선
• 톨레미 정리
• 부채꼴
• 아크탄젠트
• 베르트랑의 역설 (확률)

참고

• (위키문헌 The Elements of Euclid for the Use of Schools and Colleges - (1872) Isaac Todhunter -The Elements of Euclid /Book III -PROPOSITION 35. THEOREM.) https://en.wikisource.org/wiki/The_Elements_of_Euclid_for_the_Use_of_Schools_and_Colleges/Book_III