원통좌표계

원통좌표계 (cylindrical coordinate system)는 3차원 공간을 나타내기 위해, 평면 극좌표계에 평면에서부터의 높이 $z$ (혹은 $h$)를 더해, $(r,\theta ,z)$ 로 이루어지는 좌표계이다.

원통좌표계는 한 축을 중심으로 대칭성을 갖는 경우에 유용하다. 예를 들면, 반지름이 $c$인 무한히 긴 원통의 데카르트 좌표계에서의 식은 $x^{2}+y^{2}=c^{2}$이지만, 원통좌표계에서는 간단히 $r=c$가 된다. 이런 이유로 원통좌표계(cylinder-ical coordinate)란 이름이 붙어있다.

정의

3차원 공간의 점 P는 $(r,\theta ,z)$로 표시된다. 이를 데카르트 좌표계로 표시해 보면 다음과 같다.:

• $r$은 원점 O에서 P의 $xy$평면으로의 사영 p'까지의 거리를 나타낸다. 다시 말하면, $r$은 $z$축에서 P까지의 거리이다.
• $\theta$는 양의 $x$축 방향에서 반시계 방향으로 측정한 OP'까지의 각이다.
• $z$는 $z$와 같다.

$z$에 높이(height)란 의미를 주어 $z$대신 $h$를 사용한 $(r,\theta ,h)$란 표기도 자주 쓰인다.

원통좌표계의 경우는 좌표값에 따라 한 점을 여러 좌표가 가리키는 경우가 있으므로, 각 변수의 범위를 보통 아래와 같이 제한한다.

$r\geq 0$

$0\leq \theta \leq 2\pi$

$z$ : 제한 없음

데카르트 좌표계에서 원통좌표계로의 변환식

${\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}\\z&=z\end{aligned}}$

단위벡터

각 단위벡터의 데카르트 좌표에서의 표현은 다음과 같다.

${\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\frac {d\mathbf {r} }{dr}}{\left|{\frac {d\mathbf {r} }{dr}}\right|}}={\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\0\end{bmatrix}}$

${\hat {\mathbf {\theta } }}={\frac {\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}{\left|{\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}\right|}}={\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{bmatrix}}$

${\hat {\mathbf {z} }}={\frac {\frac {d\mathbf {r} }{dz}}{\left|{\frac {d\mathbf {r} }{dz}}\right|}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

유용한 공식들

부피 요소

$\,{dV}=rdrd\theta dz$

라플라시안

$\nabla ^{2}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}r{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$