알렉산드로프 콤팩트화

일반위상수학에서 알렉산드로프 콤팩트화(Александров compact化, 영어: Alexandroff compactification)는 주어진 위상 공간에 한 점을 추가하여 콤팩트 공간으로 만드는 방법이다. 한 점 콤팩트화(영어: one-point compactification)이라고 부르기도 한다. 스톤-체흐 콤팩트화와 달리, 알렉산드로프 콤팩트화는 원래 공간이 콤팩트 하우스도르프 공간이더라도 항상 한 개의 점을 추가하며, 또한 원래 공간이 국소 콤팩트 공간이 아닐 경우 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

정의

$X$가 임의의 위상 공간이라고 하자. 여기에 한 점 $\infty$를 추가하여, $X_{+}=X\sqcup \{\infty \}$에 다음과 같은 위상을 부여하자. $X_{+}$의 부분집합 $U\subset X_{+}$가 열린 집합일 조건은 다음과 같다.

• 만약 $\infty \not \in U$라면, $U\subset X$가 $X$의 위상에서 열린 집합일 때
• 만약 $\infty \in U$라면, $X_{+}\setminus U\subset X$가 $X$의 위상에서 닫힌 집합이며 콤팩트 집합일 때

이렇게 위상을 부여한 위상 공간 $X_{+}$는 항상 콤팩트 공간이다.

증명:

$X_{+}$의 열린 덮개 ${\mathcal {U}}$가 주어졌다고 하자. 그 유한 부분 덮개를 찾으면 족하다.

열린 덮개의 정의에 따라, $\infty \in U\in {\mathcal {U}}$가 존재한다. 알렉산드로프 콤팩트화의 정의에 따라, $X_{+}\setminus U$는 콤팩트 공간이며, ${\mathcal {U}}$를 이에 제한하면 이는 $X_{+}\setminus U$의 열린 덮개를 이룬다. 따라서 그 유한 부분 덮개 ${\mathcal {U}}'\subseteq {\mathcal {U}}$를 찾을 수 있다. 이제, ${\mathcal {U}}'\cup \{U\}$는 $U\cup (X_{+}\setminus U)=X_{+}$를 덮는 유한 부분 덮개이다.

이를 알렉산드로프 콤팩트화라고 한다. 또한, 자연스러운 포함 사상 $i\colon X\hookrightarrow X_{+}$가 존재하며, $X_{+}$는 밑점 $\infty \in X_{+}$로 인하여 자연스럽게 점을 가진 공간을 이룬다.

성질

포함 사상 $i\colon X\hookrightarrow X_{+}$는 항상 연속 함수이며 (열린집합의 원상은 열린집합) 열린 함수이다 (열린집합의 상은 열린집합). 만약 $X$가 콤팩트하지 않은 경우 $i$의 상은 조밀 집합이다.

임의의 위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X_{+}$가 하우스도르프 공간이다.
• $X$가 하우스도르프 국소 콤팩트 공간이다.

연산과의 호환

임의의 두 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$, $Y$에 대하여, 다음이 성립한다.

$(X\times Y)_{+}\cong X_{+}\wedge Y_{+}$

여기서 $\cong$은 점을 가진 공간의 위상 동형이며, $\wedge$는 두 점을 가진 공간의 분쇄곱이다.

함자성

다음과 같은 두 범주를 생각하자.

• ${\mathcal {C}}$의 대상은 위상 공간이며, 사상은 연속 함수인 고유 함수이다.
• ${\mathcal {D}}$의 대상은 위상 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {Top}$의 화살표 범주이다. (즉, 그 대상은 연속 함수이며, 그 사상은 두 연속 함수 사이의 가환 네모이다.)

그렇다면, 알렉산드로프 콤팩트화는 함자

${\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

를 이룬다. 특히, 임의의 연속 고유 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음과 같은 가환 네모를 만족시키는 자연스러운 연속 함수 $f_{+}\colon X_{+}\to Y_{+}$가 존재한다.

${\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&Y\\\downarrow &&\downarrow \\X_{+}&{\underset {f_{+}}{\to }}&Y_{+}\end{matrix}}$

예

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$의 알렉산드로프 콤팩트화는 초구 $S^{n}$과 위상 동형이다.

가산 무한 개의 열린 구간 $(0,1)\times \mathbb {Z}$의 알렉산드로프 콤팩트화는 하와이 귀고리와 위상 동형이다.

역사

파벨 세르게예비치 알렉산드로프가 1924년 정의하였다.

외부 링크

• “Aleksandrov compactification”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “One-point compactification”. 《nLab》 (영어). 
• Cortzen, Allan. “One-point compactification”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Ruiz Sánchez, Carlos Jesús (2014년 6월). 《La compactificación de Alexandroff》 (PDF) (스페인어). 학사 학위 논문. Universidad de Murcia.