상대 호몰로지

대수적 위상수학에서 상대 호몰로지(relative homology)는 위상 공간의 어떤 부분공간에 대하여 사슬 복합체의 몫을 취하여 얻은 특이 호몰로지다.

정의

$X$가 위상 공간이고, $A\subset X$가 그 부분공간이라고 하자. 그렇다면 그 사슬 복합체에 대하여 다음과 같은 벡터 공간의 짧은 완전열이 존재한다.

$0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0$.

몫공간 $C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)$의 원소를 상대 사슬(relative chain)이라고 한다.

$C_{\bullet }(X)$에 대한 경계 연산자 $\partial$은 $C_{\bullet }(A)$를 보존한다. 따라서 $C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)$의 경계를 정의할 수 있다. 이에 따라 $C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)$는 사슬 복합체를 이루며, 그 호몰로지를 상대 호몰로지 $H_{\bullet }(X,A)$라고 한다.

성질

(통상적인) 특이 호몰로지를 $H_{n}(X)$라고 하면, $H_{n}(X,\varnothing )=H_{n}(X)$이다. 즉, 통상적인 특이 호몰로지는 상대 호몰로지의 특수한 경우다.

절단 정리

$U\subset A$가 $\operatorname {cl} U\subset \operatorname {int} (A)$를 만족한다고 하자. 여기서 $\operatorname {cl}$은 닫힘이고, $\operatorname {int}$는 내부이다. 그렇다면 $H_{\bullet }(X,A)=H_{\bullet }(X\setminus U,A\setminus U)$이다. 이를 절단 정리(excision theorem)이라고 한다.

나아가, $(X,A)$가 위상수학적으로 비교적 정상적인 경우 보통 $H_{\bullet }(X,A)=H_{\bullet }(X/A)$이다.

상대 호몰로지의 긴 완전열

지그재그 보조정리(zigzag lemma)를 사용하여, 다음과 같은 완전열을 정의할 수 있다.

$\cdots \to H_{n}(A){\xrightarrow {i_{*}}}H_{n}(X){\xrightarrow {j_{*}}}H_{n}(X,A){\xrightarrow {\partial _{*}}}H_{n-1}(A)\to \cdots$.

여기서 $i_{*}$와 $j_{*}$는 짧은 완전열의 사상들

$0\to C_{\bullet }(A){\xrightarrow {i}}C_{\bullet }(X){\xrightarrow {j}}C_{\bullet }(X,A)\to 0$

의 펑터 $H_{n}$에 대한 상이다. $\partial _{*}$는 지그재그 보조정리에 의하여 정의되는 사상이다. 즉, 상대 호몰로지 $H_{n}(X,A)$의 경계는 $H_{n-1}(A)$에 속한다.

에일렌베르크-스틴로드 공리

 이 부분의 본문은 에일렌베르크-스틴로드 공리입니다.

상대 호몰로지는 에일렌베르크-스틴로드 공리라는 공리계를 따른다.

참고 문헌

• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.