르장드르 변환

르장드르 변환(Legendre變換, 영어: Legendre transformation)은 볼록함수를 다른 볼록함수로 변환하는 연산이다. 대략 한 좌표에 대하여 자연스러운 함수를, 이에 대응하는 운동량 좌표에 대하여 자연스러운 함수로 바꾸는 것으로 생각할 수 있다. 르장드르 변환은 스스로의 역이다. 즉, 어떤 함수에 르장드르 변환을 두 번 가하면 다시 원래 함수를 얻는다.

정의

벡터 공간 $V$ 속의 볼록집합 $A\subset X$ 위에 연속 볼록함수 $f\colon X\to \mathbb {R}$가 주어졌다고 하자. $f$의 도함수의 상 $A^{\star }=\nabla f(A)$을 정의하자. 그렇다면 $f$의 르장드르 변환

$f^{\star }\colon A^{\star }\to \mathbb {R}$

은 다음과 같다.

$f^{\star }(x^{\star })=\sup _{x\in A}\{x^{\star }x-f(x)\}$

만약 $f$가 연속미분가능이라면, 그 도함수의 역함수를 정의할 수 있다.

$f'(x)=x^{\star }\Leftrightarrow x=(f')^{-1}(x^{\star })$

그렇다면 $f^{\star }(x^{\star })$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$f^{\star }(x^{\star })=x^{\star }x-f(x)=(f')^{-1}(x^{\star })x^{\star }-f((f')^{-1}(x^{\star }))$

성질

르장드르 변환은 스스로의 역이다. 즉,

${\frac {df^{\star }}{dx^{\star }}}=x+x^{\star }{\frac {dx}{dx^{\star }}}-{\frac {df}{dx}}{\frac {dx}{dx^{\star }}}=x$

이므로,

$f^{\star \star }(x)=xx^{\star }-f^{\star }(x^{\star })=xx^{\star }-(xx^{\star }-f(x))=f(x)$

이다.

예

$f(x)$	$\operatorname {dom} f$	$f^{\star }(x^{\star })$	$\operatorname {dom} f^{\star }$	조건
$af(x)$	$\operatorname {dom} f$	$af^{\star }(x^{\star }/a)$	$a\cdot \operatorname {dom} f^{\star }$	$a>0$
$f(ax)$	$a^{-1}\cdot \operatorname {dom} f$	$f^{\star }(x^{\star }/a)$	$a\cdot \operatorname {dom} f^{\star }$	$a>0$
$f(x)+a$	$\operatorname {dom} f$	$f^{\star }(x^{\star })-a$	$\operatorname {dom} f^{\star }$	$a\in \mathbb {R}$
$f(x-a)$	$a+\operatorname {dom} f$	$f^{\star }(x^{\star })+ax^{\star }$	$\operatorname {dom} f^{\star }$	$a\in \mathbb {R}$
$f(x)+ax$	$\operatorname {dom} f$	$f^{\star }(x^{\star }-a)$	$a+\operatorname {dom} f^{\star }$	$a\in \mathbb {R}$
$f(x)+g(x)$	$\operatorname {dom} f\cap \operatorname {dom} g$	$(f^{\star }\star _{\text{inf}}g^{\star })(x^{\star })$	$\operatorname {dom} f^{\star }+\operatorname {dom} g^{\star }$	$(f\star _{\text{inf}}g)(x)=\inf _{y}\{f(x-y)+g(y)\}$
$(f\star _{\text{inf}}g)(x)$	$\operatorname {dom} f+\operatorname {dom} g$	$f^{\star }(x^{\star })+g^{\star }(x^{\star })$	$\operatorname {dom} f^{\star }\cap \operatorname {dom} g^{\star }$	$(f\star _{\text{inf}}g)(x)=\inf _{y}\{f(x-y)+g(y)\}$
$ax+b$	$\mathbb {R}$	$-b$	$\{a\}$
$|x|^{p}/p$	$\mathbb {R}$	$|x^{\star }|^{p^{\star }}/p^{\star }$	$\mathbb {R}$	$1/p+1/p^{\star }=1$, $p>1$
$-x^{p}/p$	$[0,\infty )$	$-|x^{\star }|^{p^{\star }}/p^{\star }$	$(-\infty ,0]$	$1/p+1/p^{\star }=1$, $p<1$
$\exp(x)$	$\mathbb {R}$	$x^{\star }(\ln(x^{\star })-1)$	$\mathbb {R} ^{+}$
$x\ln(x)$	$\mathbb {R} ^{+}$	$\exp(x-1)$	$\mathbb {R}$
$-1/2-\ln x$	$\mathbb {R} ^{+}$	$-1/2-\ln |x^{\star }|$	$\mathbb {R} ^{-}$
$x\exp(x+1)$	$\mathbb {R}$	$x^{\star }(W(x^{\star })-1)^{2}/W(x^{\star })$	$[-1/e,\infty )$	$W$는 람베르트 W 함수

참고 문헌

• Rockafellar, R. Tyrrell (1997). 《Convex analysis》. Princeton Landmarks in Mathematics (영어). Princeton University Press. ISBN 978-069101586-6. Zbl 0932.90001. 
• Zia, R. K. P.; E. F. Redish, S. R. McKay (2009). “Making sense of the Legendre transform”. 《American Journal of Physics》 (영어) 77 (7): 614. arXiv:0806.1147. doi:10.1119/1.3119512. 

외부 링크

• Tikhomirov, V.M. (2001). “Legendre transform”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Legendre transformation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 영의 부등식