선형대수학 에서 대각 행렬 (對角行列, 영어 : diagonal matrix )은 주대각선 성분이 아닌 모든 성분이 0인 정사각 행렬 이다.[1] [2] [3] :100
환
R
{\displaystyle R}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각 행렬
D
∈
Mat
(
n
;
R
)
{\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;R)}
동치 이며, 이를 만족시키는 행렬을 대각 행렬 이라고 한다.
임의의
i
,
j
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
D
i
j
=
0
{\displaystyle D_{ij}=0}
D
{\displaystyle D}
상삼각 행렬 이며, 동시에 하삼각 행렬 이다.각
i
{\displaystyle i}
d
i
∈
R
{\displaystyle d_{i}\in R}
diag
(
d
1
,
…
,
d
n
)
=
(
d
1
d
2
⋱
d
n
)
{\displaystyle \operatorname {diag} (d_{1},\dots ,d_{n})={\begin{pmatrix}d_{1}\\&d_{2}\\&&\ddots \\&&&d_{n}\end{pmatrix}}}
마찬가지로, 임의의 크기
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
[1] :18, §1.2.6
diag
m
×
n
(
d
1
,
…
,
d
min
{
m
,
n
}
)
{\displaystyle \operatorname {diag} _{m\times n}(d_{1},\dots ,d_{\min\{m,n\}})}
대칭성과 반대칭성 [ 편집 ] 환
R
{\displaystyle R}
D
∈
Mat
(
n
;
R
)
{\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;R)}
대칭 행렬 이자 반대칭 행렬 이다.
표수 가 2가 아닌 환
R
{\displaystyle R}
정사각 행렬
D
∈
Mat
(
n
;
R
)
{\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;R)}
동치 이다.
D
{\displaystyle D}
D
{\displaystyle D}
대칭 행렬 이며, 또한 반대칭 행렬 이다.(표수 2의 환 위에서는 대칭 행렬 과 반대칭 행렬 이 동치 이며, 이는 일반적으로 대각 행렬과 동치 가 아니다.)
고윳값 [ 편집 ] 체
K
{\displaystyle K}
D
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;K)}
고윳값 은 대각 성분들이다. 각 고윳값의 기하적 중복도는 대수적 중복도와 일치하며, 이는 단순히 대각 성분이 나타난 횟수이다.
대각화 [ 편집 ] 환
R
{\displaystyle R}
D
∈
Mat
(
n
;
R
)
{\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;R)}
대각화 가능 행렬 이다.
체
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각 행렬
M
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}
동치 이다.
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
고윳값 의 기하적 중복도는 그 대수적 중복도와 일치한다.
M
{\displaystyle M}
최소 다항식 은 1차 다항식들의 곱이다.직교 대각화와 유니터리 대각화 [ 편집 ] 실수 정사각 행렬
M
∈
Mat
(
n
;
R
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )}
동치 이다.[2] :315, §8.5
M
{\displaystyle M}
직교 대각화 가능 행렬 이다. 즉,
Q
−
1
M
Q
{\displaystyle Q^{-1}MQ}
직교 행렬
Q
∈
O
(
n
;
R
)
{\displaystyle Q\in \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )}
M
{\displaystyle M}
대칭 행렬 이다.복소수 정사각 행렬
M
∈
Mat
(
n
;
C
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )}
동치 이다.[2] :311–317, §8.5
M
{\displaystyle M}
유니터리 대각화 가능 행렬 이다. 즉,
U
−
1
M
U
{\displaystyle U^{-1}MU}
유니터리 행렬
U
∈
U
(
n
)
{\displaystyle U\in \operatorname {U} (n)}
M
{\displaystyle M}
정규 행렬 이다.복소수 정사각 행렬
D
∈
Mat
(
n
;
C
)
{\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )}
동치 이다.[2] :315–316, §8.5, Theorem 20
D
{\displaystyle D}
D
{\displaystyle D}
상삼각 행렬 이며, 정규 행렬 이다.
D
{\displaystyle D}
하삼각 행렬 이며, 정규 행렬 이다.특히, 대각 행렬이 아닌 복소수 상·하삼각 행렬은 유니터리 대각화 가능 하지 않다.
모든 스칼라 행렬 은 대각 행렬이다. 특히, 단위 행렬 과 영행렬 은 대각 행렬이다.
다음 실수
4
×
4
{\displaystyle 4\times 4}
(
2
0
0
0
0
5
0
0
0
0
3
0
0
0
0
−
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&5&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}
다음 실수
5
×
3
{\displaystyle 5\times 3}
(
1
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&6\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}
다음 실수
2
×
4
{\displaystyle 2\times 4}
(
9
0
0
0
0
5
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}9&0&0&0\\0&5&0&0\end{pmatrix}}}
같이 보기 [ 편집 ] 참고 문헌 [ 편집 ]
↑ 가 나 Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix Computations》. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences (영어) 4판. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4 LCCN 2012943449 . ↑ 가 나 다 라 Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2 ↑ Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8
외부 링크 [ 편집 ] 
이 부분의 본문은 대각화 가능 행렬입니다.
