단사 사상

이 문서는 일반적인 범주에서의 단사 사상에 관한 것입니다. 집합 사이의 단사 사상에 대해서는 단사 함수 문서를 참고하십시오.

범주론에서 단사 사상(單射寫像, 영어: monomorphism)은 두 사상의 등식에서 왼쪽에 합성되어 있을 때, 소거할 수 있는 사상이다. 전사 사상의 반대 개념이다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$의 사상 $f\colon X\to Y$가 다음 조건을 만족시키면, 단사 사상이라고 한다.

• 임의의 대상 $Z$ 및 사상 $g_{1},g_{2}\colon Z\to X$에 대하여, 만약 $f\circ g_{1}=f\circ g_{2}$라면 $g_{1}=g_{2}$이다.

  $Z{\overset {g_{1}}{\underset {g_{2}}{{}\rightrightarrows {}}}}X\xrightarrow {f} Y$

정규 단사 사상

 이 부분의 본문은 핵 (수학)입니다.

영 사상을 갖는 범주 ${\mathcal {C}}$에서, 어떤 사상 $f\colon X\to Y$의 핵 $\ker f\colon K\to X$으로 나타내어질 수 있는 사상을 정규 단사 사상이라고 한다. 정규 단사 사상은 항상 단사 사상이다. 이 개념은 군론에서의 정규 부분군의 개념의 일반화이다.

강한 단사 사상

범주 ${\mathcal {C}}$에서, 강한 단사 사상(強-單射寫像, 영어: strong monomorphism)은 모든 전사 사상에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 단사 사상이다. 즉, 단사 사상 $i\colon A\to B$가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 단사 사상이라고 한다.

임의의 가환 사각형

${\begin{matrix}X&{\xrightarrow {\pi }}&Y\\\downarrow &&\downarrow \\A&{\xrightarrow[{i}]{}}&B\end{matrix}}$

에서 $\pi$가 전사 사상이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상 $Y\to A$가 존재한다.

${\begin{matrix}X&{\xrightarrow {\pi }}&Y\\\downarrow &{\scriptstyle \exists !}\swarrow &\downarrow \\A&{\xrightarrow[{i}]{}}&B\end{matrix}}$

극단 단사 사상

범주 ${\mathcal {C}}$의 단사 사상 $f\colon X\to Y$가 다음 조건을 만족시키면, 극단 단사 사상(極端單射寫像, 영어: extremal monomorphism)이라고 한다.

• 임의의 대상 $Z$ 및 전사 사상 $g\colon X\to Z$ 및 사상 $h\colon Z\to Y$에 대하여, 만약 $f=h\circ g$라면 $g$는 동형 사상이다.

  ${\begin{matrix}X\\{\scriptstyle g}\downarrow &\searrow \scriptstyle f\\Z&{\xrightarrow[{h}]{}}&Y\end{matrix}}$

극단 단사 사상의 합성은 극단 단사 사상일 필요가 없다. 예를 들어, 다음과 같은 그림으로 나타낸 범주를 생각하자.

${\begin{matrix}A&\xrightarrow {f} &B&{\overset {g}{\rightrightarrows }}&C&\rightrightarrows &D\\&\searrow &&\nearrow \\&&E\end{matrix}}$

이 범주에서 $f$와 $g$는 극단 단사 사상이지만, $g\circ f$는 극단 단사 사상이 아니다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상

동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상

동형 사상 = 단사 사상 ∩ 극단 전사 사상 = 전사 사상 ∩ 극단 단사 사상

분할 단사 사상이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상 $f\colon X\to Y$ 및 그 왼쪽 역사상 $r\colon Y\to X$이 주어졌을 때 $f=\operatorname {eq} \{f\circ r,\operatorname {id} _{Y}\}$이기 때문이다.

요네다 매장

요네다 매장을 통하여, 단사 사상의 조건을 준층 범주에서 해석할 수 있다. 즉, 국소적으로 작은 범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 사상 $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 단사 사상이다.
• 임의의 대상 $Z$에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 $(f\circ )\colon \hom _{\mathcal {C}}(Z,X)\to \hom _{\mathcal {C}}(Z,Y)$는 단사 함수이다.
• 준층 토포스 $\operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})$로 가는 요네다 매장 함자 $\hom _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})$아래서, $f$의 상 $(f\circ )\colon \hom _{\mathcal {C}}(-,X)\to \hom _{\mathcal {C}}(-,Y)$은 준층 토포스에서의 단사 사상이다.

반대 범주

범주 ${\mathcal {C}}$의 단사 사상은 그 반대 범주 ${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }$의 전사 사상이다.

예

구체적 범주 ${\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$에서, 함수로서 단사 함수인 사상은 단사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 만약 자유 대상이 존재한다면, 즉 망각 함자 ${\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$의 왼쪽 수반 함자 $\operatorname {Set} \to {\mathcal {C}}$가 존재한다면, 그 역 또한 성립한다. 특히, 대수 구조 다양체의 범주의 경우, 항상 자유 대수 구조가 존재하므로 모든 단사 사상은 단사 함수이다.

여러 구체적 범주에서, 단사 사상들은 단사 함수인 준동형이다.

• 군의 범주에서, 단사 사상은 단사 함수인 군 준동형이다.
• 환의 범주 $\operatorname {Ring}$에서, 단사 사상은 단사 함수인 환 준동형이다.

그러나 이는 항상 성립하지 않는다.

• 나눗셈군과 군 준동형의 범주에서, 몫군 사상 $\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z}$는 단사 함수가 아니지만 단사 사상이다.

체의 범주에서는 모든 사상(체의 확대)이 단사 사상이다.

집합의 범주

집합과 함수의 토포스에서는 다음이 성립한다.

• 단사 사상은 단사 함수이다.
• 단사 사상 · 정칙 단사 사상 · 유효 단사 사상의 개념이 일치한다.

(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

군의 범주

군과 군 준동형의 범주 $\operatorname {Grp}$에서는 다음이 성립한다.

• 단사 사상은 단사 함수인 군 준동형이다.
• 정규 단사 사상은 정규 부분군의 포함 준동형이다.
• 단사 사상 · 정칙 단사 사상 · 유효 단사 사상의 개념이 일치한다.

벡터 공간의 범주

체 $K$ 위의 벡터 공간과 선형 변환의 아벨 범주 $\operatorname {Vect} _{K}$에서는 다음이 성립한다.

• 단사 사상은 단사 함수인 선형 변환이다.
• 단사 사상 · 정규 단사 사상 · 정칙 단사 사상 · 유효 단사 사상의 개념이 일치한다.

위상 공간의 범주

위상 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {Top}$에서는 다음이 성립한다.

• 단사 사상은 단사 함수인 연속 함수이다.
• 정칙 단사 사상은 위상 공간의 매장이다. 즉, 정의역과 치역 사이의 위상 동형을 정의하는 단사 연속 함수이다. 모든 유효 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.

(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. 

외부 링크

• “Monomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Normal monomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Monomorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Normal monomorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Strong monomorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Extremal monomorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Why the underlying function of a monomorphism may not be an injection” (영어). Math Overflow. 2015년 2월 20일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 20일에 확인함. 
• Yuan, Qiaochu (2012년 9월 29일). “Monomorphisms and epimorphisms”. 《Annoying Precision》 (영어). 2015년 9월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 4일에 확인함.