수학 에서, 직교좌표계 (Orthogonal coordinates )는 그 좌표 곡면들 모두가 직각으로 만나는 d개의 좌표들의 집합(q = (q 1 , q 2 , ..., qd ))으로 정의된다(여기서 위 첨자는 지수가 아니라 인덱스이다). 특정한 좌표 qk 에 대한 좌표 곡면은 qk 가 상수로서 주어지는 곡선, 곡면, 또는 초곡면이다. 예를 들면, 3차원 데카르트 좌표계 (x , y , z )의 경우 그것의 좌표 곡면들(x = constant, y = constant, 및 z = constant)이 서로 직각으로 만나는 평면들이라는 점에서 삼차원 데카르트 좌표계(x , y , z )는 이 문서에서 말하는 직교 좌표계의 하나이다. 또한 이러한 직교 좌표계는 곡선 좌표계 의 특별하면서도 매우 일반적인 경우에 해당한다.
직각 그리드에 적용되는 등각 매핑. 곡선 그리드의 직교성이 유지되고 있음을 주목할 것. 데카르트 좌표계 에서 벡터 연산 및 물리 법칙들을 다루는 것이 가장 쉽겠지만 비-데카르트 직교 좌표계들 역시 다양한 문제들에 종종 사용된다. 비-데카르트 좌표계들은 양자역학, 유체의 흐름, 전기동역학, 화학 원소 또는 열의 확산 등에서 나타나는 경계값 문제들에서 특히 유용하게 사용된다.
비-데카르트 좌표들의 주된 장점은 주어진 문제의 대칭성을 고려하여 이에 적합한 좌표계를 선택하는 것에 있다. 예를 들면, 지상 또는 다른 장벽으로부터 먼 곳에서 발생한 폭발에 의해 만들어지는 압력파는 데카르트 좌표계에서 3차원적으로 기술될 수 있겠지만 압력은 주로 중심으로부터 멀어지는 방향으로 전파된다는 점에서 이 현상은 구좌표계에서는 거의 1차원적 문제처럼 다뤄질 수 있다. 다른 예로는 원통형의 직선 파이프 내에서 천천히 움직이는 유체가 있다. 데카르트 좌표계에서 이 현상을 기술하기 위해서는 편미분 방정식을 포함하는 어려운 2차원 경계값 문제를 푸는 것이 필요하지만 원통 좌표계에서는 편미분 방정식 대신에 상미분 방정식을 사용하여 1차원적으로 다뤄질 수 있다.
일반화된 곡선 좌표계 대신 직교 좌표계를 선호하는 이유는 단순성에 있다: 대부분의 복잡성은 좌표가 직교하지 않을 때 발생한다. 예를 들면, 직교 좌표계에서는 많은 문제들이 “변수 분리법”이라 불리는 수학적 기법을 사용하여 쉽게 풀려질 수 있다. 변수 분리법을 사용하면 복잡한 d차원의 문제가 알려진 함수들을 통해 풀려질 수 있는 d개의 일차원 문제들로 변환될 수 있다. 많은 방정식들은 라플라스 방정식 또는 헬름홀츠 방정식 으로 환원될 수 있으며 라플라스 방정식은 13개의 직교 좌표계들에서 분리가능하고 헬름홀츠 방정식은 11개의 직교 좌표계들에서 분리가능하다.[1] [2]
직교 좌표계에서 그것의 메트릭 텐서 는 비대각항들이 0이 되도록 구성된다. 즉, 무한소 제곱 거리(infinitesimal squared distance) ds 2 은 항상 무한소 좌표 변이들의 제곱된 값들의 스케일된 합(a scaled sum of the squared infinitesimal coordinate displacements)으로서 표현될 수 있다.
d
s
2
=
∑
k
=
1
d
(
h
k
d
q
k
)
2
{\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\,dq^{k}\right)^{2}}
여기서 d 는 고려되는 공간의 차원이고 스케일 함수들(또는 스케일 인수들)은
h
k
(
q
)
=
d
e
f
g
k
k
(
q
)
=
|
e
k
|
{\displaystyle h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} _{k}|}
메트릭 텐서의 대각 성분들의 제곱근들 또는 국소 기저 벡터들
e
k
{\displaystyle \mathbf {e} _{k}}
hi 은 새로운 좌표계에서 미분 연산자들(예를 들면, 기울기 연산자 (gradient), 라플라시안 , 발산 연산자 및 회전 연산자 )를 계산하는데 사용된다.
2차원에서 직교 좌표계들을 생성하기 위한 간단한 방법은 데카르트 좌표들(x , y )의 표준적인 2차원 그리드의 등각 매핑 을 통해서이다. 복소수 z = x + iy 는 실수 좌표x 와 y 로부터 형성될 수 있다(여기서 i는 허수 단위를 나타낸다). 영이 아닌 복소 도함수를 갖는 임의의 정칙 함수 w = f (z )는 등각 매핑을 생성한다: 그렇게 만들어진 복소수가 w = u + iv 로 쓰여진다면, u 및 v가 상수인 곡선들은 x 및 y가 상수인 원래의 선들과 마찬가지로 직각으로 교차한다.
삼차원 및 고차원에서의 직교 좌표계들은 직교하는 2차원 좌표계로부터 생성될 수 있다. 예를 들면, 2차원 직교 좌표계를 새로운 차원(원통 좌표)로 투영하거나 2차원 직교 좌표계를 그 대칭 축들 중의 하나에 대해 회전시킴으로써 삼차원 및 고차원에서의 직교 좌표계를 생성할 수 있다. 하지만 2차원 좌표계를 투영하거나 회전하는 방법을 통해서는 얻어질 수 없는 다른 3차원 직교 좌표계들도 있다(예를 들면, 타원 좌표). 보다 일반적인 직교 좌표는 필요한 좌표 곡면을 가지고 시작하되 그들의 직교 궤도들을 고려함으로써 얻어질 수 있다.
기저 벡터 [ 편집 ] 공변 기저 [ 편집 ] 데카르트 좌표계에서, 기저 벡터들은 변하지 않는다(고정된다). 반면, 보다 일반적인 곡선 좌표계에서는, 공간 상의 한 점은 좌표들에 의해 명기되고, 그러한 모든 점들에는 (일반적으로는 고정되지 않은) 기저 벡터들의 세트가 바인딩된다: 이것은 일반적인 곡선 좌표의 핵심이며 매우 중요한 개념이다. 직교 좌표들을 특징짓는 것은 (기저 벡터가 변하더라도) 그러한 기저 벡터들은 서로에 대해 항상 직교한다는 것이다. 즉,
e
i
⋅
e
j
=
0
if
i
≠
j
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\quad {\text{if}}\quad i\neq j}
이러한 기저 벡터들은, 정의에 의해, 나머지 좌표들은 고정시키면서 하나의 좌표를 변화시킴으로써 얻어지는 곡선들의 접선 벡터들이다:
2D 직교 좌표의 시각화. 하나의 좌표를 상수로 유지함으로써 얻어진 곡선들이 기저 벡터들과 함께 도시되었다. 기저 벡터들의 길이가 같지 않을 수 있다. 길이의 동일성이 요구되는 것은 아니고 직교하는 것만이 요구된다.
e
i
=
∂
r
∂
q
i
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}}
여기서, r 은 어떤 점이고 qi 는 기저 벡터 가 추출되는 좌표이다. 즉, 곡선은, 한 좌표를 제외한, 모든 좌표들을 고정시킴으로써 얻어진다: 이때, 고정되지 않은 좌표는 매개변수 곡선(parametric curve)에서와 같이 변하게 되고, 그러한 매개 변수에 대한 그 곡선의 도함수가 그 좌표에 대한 기저 벡터이다.
기저 벡터들이 같은 길이일 필요는 없다. (좌표들의 스케일 인수들로서 알려진) 유용한 함수들은 기저 벡터들
e
^
i
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}
h
i
{\displaystyle {h}_{i}}
정규화된 기저 벡터들은 아래와 같이 해트를 사용하여 표기되며, 길이로 나눔으로써 얻어진다:
e
^
i
=
e
i
h
i
=
e
i
|
e
i
|
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{h_{i}}}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{\left|{\mathbf {e} }_{i}\right|}}}
벡터장은, 기저 벡터에 대한 또는 정규화된 기저 벡터에 대한, 그것의 성분들에 의해 기술될 수 있으며, 따라서, 어떤 경우를 의미하는 것인지 명확히 하는 것이 필요하다. 양들에서의 명확성을 위해, 정규화된 기저에서의 성분들이 여러 응용들에서 가장 일반적으로 사용된다(예를 들면, 사람들은 접속 속도와 스케일 인수의 곱이 아니라 접선 속도를 다루기를 원한다): 도함수들에서는, 정규화된 기저는 더욱 복잡하기 때문에 다소 덜 사용된다.
반변 기저 [ 편집 ] 위에서 논의된 기저 벡터들은, 벡터들과 함께 변하기 때문에, 공변 기저 벡터들이다. 직교 좌표계의 경우, 반변 기저 벡터들은, 공변 벡터들과 같은 방향이지만 반비례하는 길이를 갖기 때문에, 찾기 쉽다(이런 이유에서 기저 벡터들의 위 두 세트들은 서로에 대해 역이라 한다):
e
i
=
e
^
i
h
i
=
e
i
h
i
2
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2}}}}
위 식은 크로네커 델타 (Kronecker delta)를 사용하여
e
i
⋅
e
j
=
δ
i
j
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}}
e
^
i
=
e
i
h
i
=
h
i
e
i
=
e
^
i
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}={\hat {\mathbf {e} }}^{i}}
이제까지 직교 좌표계들에서 벡터들을 나타내기 위해 일반적으로 사용되는 세가지 다른 기저 세트들이 소개되었다: 공변 기저 e i e i ê i 비록 하나의 벡터는 (그 정체성(identity)은 좌표계의 선택에 무관한) 객관적 양 일지라도, 벡터의 성분들은 그 벡터가 어떤 기저에 기초하여 표현되는지에 따라 달라진다 .
혼동을 피하기 위해, e i x 의 성분들은 x i e i x i
x
=
∑
i
x
i
e
i
=
∑
i
x
i
e
i
{\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}
인덱스들의 위치는 성분들이 어떻게 계산되는지를 나타낸다 (위 첨자를 지수로 혼동하지 말 것). 합 기호 Σ와 (모든 기저 벡터들에 대해 합하여짐을 나타내는) 합의 범위는 종종 생략될 수 있다. 성분들 사이의 관계는 아래와 같이 간단히 표현될 수 있다:
h
i
2
x
i
=
x
i
{\displaystyle h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}}
정규화된 기저에 대한 벡터 성분들을 나타내기 위해 널리 사용되는 특별한 표기법은 없다. 이 문서에서, 우리는 벡터 성분들에 대해 아래 첨자들을 사용할 것이다. 그러한 성분들은 정규화된 기저에서 계산된 것이라는 것을 유념할 것.
벡터 대수학 [ 편집 ] 벡터 추가 및 빼기는, 복잡성이 없는 데카르트 좌표계에서와 마찬가지로, 구성 요소별로 수행됩니다. 다른 벡터 연산들의 경우, 추가적인 고려가 필요할 수도 있다.
하지만, 이러한 모든 연산들은 벡터장 내의 두 벡터들이 동일한 점에 바인딩된다(즉, 벡터들의 꼬리가 일치한다)고 가정하고 있음을 유념할 필요가 있다. 일반적으로 기저 벡터는 직교 좌표계에서도 변하기 때문에, (그 성분들이 공간 상의 다른 점들에서 계산되는) 두 벡터들이 더하여 진다면, 다른 기저 벡터들이 고려돼야 한다.
데카르트 좌표계(정규직교 기저 세터를 가진 유클리드 공간)에서의 내적은, 단순히, 성분들의 곱들의 합이다. 직교 좌표계에서, 두 벡터들 x 와 y 의 내적은, 그 벡터들의 성분들이 정규화된 기저들에서 계산될 때,익숙한 형태를 취하게 된다:
x
⋅
y
=
∑
i
x
i
e
^
i
⋅
∑
j
y
j
e
^
j
=
∑
i
x
i
y
i
{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}x_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \sum _{j}y_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i}}
위 식은, 어떤 점에서의 정규화된 기저가 데카르트 좌표계를 구성하기 위해 사용될 수 있다(기저 세트가 정규직교한다)는 사실로부터, 즉각적으로 얻어지는 결과이다.
공변 또는 반변 기저들에서의 성분들의 경우,
x
⋅
y
=
∑
i
h
i
2
x
i
y
i
=
∑
i
x
i
y
i
h
i
2
=
∑
i
x
i
y
i
=
∑
i
x
i
y
i
{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i}}
위 식은, 벡터를 성분 형태로 쓰고, 기저 벡터를 정규화한 후, 내적을 취함으로써, 쉽게 유도 될 수 있다. 예를 들어, 2차원에서는 아래와 같다:
x
⋅
y
=
(
x
1
e
1
+
x
2
e
2
)
⋅
(
y
1
e
1
+
y
2
e
2
)
=
(
x
1
h
1
e
^
1
+
x
2
h
2
e
^
2
)
⋅
(
y
1
e
^
1
h
1
+
y
2
e
^
2
h
2
)
=
x
1
y
1
+
x
2
y
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}}
여기에서는, 정규화된 공변 및 반변 기저들이 같다는 사실이 사용되었다.
3차원 데카르트 좌표계에서, 외적은 아래와 같다:
x
×
y
=
(
x
2
y
3
−
x
3
y
2
)
e
^
1
+
(
x
3
y
1
−
x
1
y
3
)
e
^
2
+
(
x
1
y
2
−
x
2
y
1
)
e
^
3
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}}
성분들이 정규화된 기저에서 계산된다면, 위 식은 직교 좌표계에서도 유효하게 유지된다.
공변 또는 반변 기저들을 사용하여 직교 좌표계에서의 외적을 구하기 위해서는, 예를 들면 아래와 같이, 기저 벡터들이 정규화돼야 한다:
x
×
y
=
∑
i
x
i
e
i
×
∑
j
y
j
e
j
=
∑
i
x
i
h
i
e
^
i
×
∑
j
y
j
h
j
e
^
j
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}\times \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\times \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}}
풀어 쓰면,
x
×
y
=
(
x
2
y
3
−
x
3
y
2
)
h
2
h
3
h
1
e
1
+
(
x
3
y
1
−
x
1
y
3
)
h
1
h
3
h
2
e
2
+
(
x
1
y
2
−
x
2
y
1
)
h
1
h
2
h
3
e
3
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3}){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1}){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3}}
(비직교 좌표계 및 고차원으로의 일반화를 단순화시키는) 외적에 대한 간결한 표기는 (스케일 인수들이 모두 1이 아니면, 0 및 1 이외의 다른 성분들을 갖는) 레비-치비타 텐서(Levi-Civita tensor)를 사용함으로써 가능하다.
벡터 계산 [ 편집 ] 어떤 점에서의 무한소 변위를 본다면, 아래는 자명하다.
d
r
=
∑
i
∂
r
∂
q
i
d
q
i
=
∑
i
e
i
d
q
i
{\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}
정의에 의해, 어떤 함수의 기울기 연산자(gradient)는 아래를 만족해야 한다. (이러한 정의는 f가 텐서인 경우에도 유효하다.)
d
f
=
∇
f
⋅
d
r
⇒
d
f
=
∇
f
⋅
∑
i
e
i
d
q
i
{\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}
이 경우, 델 연산자는 아래와 같이 주어진다:
∇
=
∑
i
e
i
∂
∂
q
i
{\displaystyle \nabla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}
이것은, 일반적인 곡선 좌표에서도, 그대로 유효하다. (기울기 연산자 및 라플라스와 같은) 양들은 이 연산자의 적절한 응용을 통해 얻을 수 있다.
기저 벡터 공식들 [ 편집 ] dr 과 정교화된 기저 벡터들ê i [3] [4]
Differential element
Vectors
Scalars
Line element
Tangent vector to coordinate curve qi :
d
ℓ
=
h
i
d
q
i
e
^
i
=
∂
r
∂
q
i
d
q
i
{\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}=h_{i}dq^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}dq^{i}}
Infinitesimal length
d
ℓ
=
d
r
⋅
d
r
=
(
h
1
d
q
1
)
2
+
(
h
2
d
q
2
)
2
+
(
h
3
d
q
3
)
2
{\displaystyle d\ell ={\sqrt {d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} }}={\sqrt {(h_{1}\,dq^{1})^{2}+(h_{2}\,dq^{2})^{2}+(h_{3}\,dq^{3})^{2}}}}
Surface element
Normal to coordinate surface qk = constant:
d
S
=
(
h
i
d
q
i
e
^
i
)
×
(
h
j
d
q
j
e
^
j
)
=
d
q
i
d
q
j
(
∂
r
∂
q
i
×
∂
r
∂
q
j
)
=
h
i
h
j
d
q
i
d
q
j
e
^
k
{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {S} &=(h_{i}dq^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i})\times (h_{j}dq^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})\\&=dq^{i}dq^{j}\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)\\&=h_{i}h_{j}dq^{i}dq^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}\end{aligned}}}
Infinitesimal surface
d
S
k
=
h
i
h
j
d
q
i
d
q
j
{\displaystyle dS_{k}=h_{i}h_{j}\,dq^{i}\,dq^{j}}
Volume element
N/A
Infinitesimal volume
d
V
=
|
(
h
1
d
q
1
e
^
1
)
⋅
(
h
2
d
q
2
e
^
2
)
×
(
h
3
d
q
3
e
^
3
)
|
=
|
e
^
1
⋅
e
^
2
×
e
^
3
|
h
1
h
2
h
3
d
q
1
d
q
2
d
q
3
=
J
d
q
1
d
q
2
d
q
3
=
h
1
h
2
h
3
d
q
1
d
q
2
d
q
3
{\displaystyle {\begin{aligned}dV&=|(h_{1}\,dq^{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1})\cdot (h_{2}\,dq^{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2})\times (h_{3}\,dq^{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3})|\\&=|{\hat {\mathbf {e} }}_{1}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\times {\hat {\mathbf {e} }}_{3}|h_{1}h_{2}h_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\\&=J\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\\&=h_{1}h_{2}h_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\end{aligned}}}
이때, J은, 야코비 행렬식 으로서, 아래와 같이 주어진다.
J
=
|
∂
r
∂
q
1
⋅
(
∂
r
∂
q
2
×
∂
r
∂
q
3
)
|
=
|
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
q
1
,
q
2
,
q
3
)
|
=
h
1
h
2
h
3
{\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}\right)\right|=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}}\right|=h_{1}h_{2}h_{3}}
야코비 행렬식 은 (직교 좌표계에서) 무한소 큐브 dx dy dz 의 무한소 휘어진 부피로의 부피적 변형이라는 기하학적 해석을 갖는다.위에서 설명된 선요소를 사용하면 경로
P
{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}}
F 의 선적분은 아래와 같다:
∫
P
F
⋅
d
r
=
∫
P
∑
i
F
i
e
i
⋅
∑
j
e
j
d
q
j
=
∑
i
∫
P
F
i
d
q
i
{\displaystyle \int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}}
한 개의 좌표 좌표 qk 를 상수로 유지함으로써 기술되는 표면에 대한 무한소의 면적 요소는 아래와 같다:
d
A
=
∏
i
≠
k
d
s
i
=
∏
i
≠
k
h
i
d
q
i
{\displaystyle dA=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}}
유사하게 볼륨 요소는 아래와 같다:
d
V
=
∏
i
d
s
i
=
∏
i
h
i
d
q
i
{\displaystyle dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}}
여기서 Σ가 합을 나타내는 것과 같은 방식으로 Π는 곱을 나타낸다. 모든 스케일 인수들의 곱은 야코비 행렬식 이라는 것을 주목할 것.
한 예로, 3차원 공간에서 q 1 = constant 인 표면
S
{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}
F 의 면적분은 아래와 같다:
∫
S
F
⋅
d
A
=
∫
S
F
⋅
n
^
d
A
=
∫
S
F
⋅
e
^
1
d
A
=
∫
S
F
1
h
2
h
3
h
1
d
q
2
d
q
3
{\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}}
이때 F 1 /h 1 는 해당 표면에 수직한F 의 성분이라는 점을 주목할 것.
3차원에서의 미분 연산자들 [ 편집 ] 이 부분의 본문은
del 입니다.
이러한 연산자들은 응용에서 종종 사용되기 때문에 이 섹션에서의 모든 벡터 성분들은 정규화된 기저에 대해 제시된다:
F
i
=
F
⋅
e
^
i
{\displaystyle F_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}
Operator
Expression
Gradient of a scalar field
∇
ϕ
=
e
^
1
h
1
∂
ϕ
∂
q
1
+
e
^
2
h
2
∂
ϕ
∂
q
2
+
e
^
3
h
3
∂
ϕ
∂
q
3
{\displaystyle \nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}}
Divergence of a vector field
∇
⋅
F
=
1
h
1
h
2
h
3
[
∂
∂
q
1
(
F
1
h
2
h
3
)
+
∂
∂
q
2
(
F
2
h
3
h
1
)
+
∂
∂
q
3
(
F
3
h
1
h
2
)
]
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(F_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(F_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(F_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]}
Curl of a vector field
∇
×
F
=
e
^
1
h
2
h
3
[
∂
∂
q
2
(
h
3
F
3
)
−
∂
∂
q
3
(
h
2
F
2
)
]
+
e
^
2
h
3
h
1
[
∂
∂
q
3
(
h
1
F
1
)
−
∂
∂
q
1
(
h
3
F
3
)
]
+
e
^
3
h
1
h
2
[
∂
∂
q
1
(
h
2
F
2
)
−
∂
∂
q
2
(
h
1
F
1
)
]
=
1
h
1
h
2
h
3
|
h
1
e
^
1
h
2
e
^
2
h
3
e
^
3
∂
∂
q
1
∂
∂
q
2
∂
∂
q
3
h
1
F
1
h
2
F
2
h
3
F
3
|
{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]\\[10pt]&+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}\\{\dfrac {\partial }{\partial q^{1}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{2}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{3}}}\\h_{1}F_{1}&h_{2}F_{2}&h_{3}F_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}
Laplacian of a scalar field
∇
2
ϕ
=
1
h
1
h
2
h
3
[
∂
∂
q
1
(
h
2
h
3
h
1
∂
ϕ
∂
q
1
)
+
∂
∂
q
2
(
h
3
h
1
h
2
∂
ϕ
∂
q
2
)
+
∂
∂
q
3
(
h
1
h
2
h
3
∂
ϕ
∂
q
3
)
]
{\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right)\right]}
위 표현들은
H
=
h
1
h
2
h
3
{\displaystyle H=h_{1}h_{2}h_{3}}
Operator
Expression
Gradient of a scalar field
(
∇
ϕ
)
k
=
e
^
k
h
k
∂
ϕ
∂
q
k
{\displaystyle (\nabla \phi )_{k}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}}
Divergence of a vector field
∇
⋅
F
=
1
H
∂
∂
q
k
(
H
h
k
F
k
)
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h_{k}}}F_{k}\right)}
Curl of a vector field
(
∇
×
F
)
k
=
h
k
e
^
k
H
ϵ
i
j
k
∂
∂
q
i
(
h
j
F
j
)
{\displaystyle \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)_{k}={\frac {h_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{H}}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(h_{j}F_{j}\right)}
Laplacian of a scalar field
∇
2
ϕ
=
1
H
∂
∂
q
k
(
H
h
k
2
∂
ϕ
∂
q
k
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h_{k}^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}\right)}
표: 직교 좌표 [ 편집 ] 일반적인 데카르트 좌표계 이외의 다른 것들이 아래 개시되었다.[5] 간결함을 위해 좌표 열에 구간에 대한 정보가 표기되었다.
Curvillinear coordinates (q 1 , q 2 , q 3 )
Transformation from cartesian (x , y , z )
Scale factors
Spherical polar coordinates
(
r
,
θ
,
ϕ
)
∈
[
0
,
∞
)
×
[
0
,
π
]
×
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle (r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )}
x
=
r
sin
θ
cos
ϕ
y
=
r
sin
θ
sin
ϕ
z
=
r
cos
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}
h
1
=
1
h
2
=
r
h
3
=
r
sin
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}&=r\\h_{3}&=r\sin \theta \end{aligned}}}
Cylindrical polar coordinates
(
r
,
ϕ
,
z
)
∈
[
0
,
∞
)
×
[
0
,
2
π
)
×
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (r,\phi ,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )}
x
=
r
cos
ϕ
y
=
r
sin
ϕ
z
=
z
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \phi \\y&=r\sin \phi \\z&=z\end{aligned}}}
h
1
=
h
3
=
1
h
2
=
r
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{3}=1\\h_{2}&=r\end{aligned}}}
Parabolic cylindrical coordinates
(
u
,
v
,
z
)
∈
(
−
∞
,
∞
)
×
[
0
,
∞
)
×
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (u,v,z)\in (-\infty ,\infty )\times [0,\infty )\times (-\infty ,\infty )}
x
=
1
2
(
u
2
−
v
2
)
y
=
u
v
z
=
z
{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\\z&=z\end{aligned}}}
h
1
=
h
2
=
u
2
+
v
2
h
3
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}}
Parabolic coordinates
(
u
,
v
,
ϕ
)
∈
[
0
,
∞
)
×
[
0
,
∞
)
×
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle (u,v,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}
x
=
u
v
cos
ϕ
y
=
u
v
sin
ϕ
z
=
1
2
(
u
2
−
v
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}}
h
1
=
h
2
=
u
2
+
v
2
h
3
=
u
v
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=uv\end{aligned}}}
Paraboloidal coordinates
(
λ
,
μ
,
ν
)
λ
<
b
2
<
μ
<
a
2
<
ν
{\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <b^{2}<\mu <a^{2}<\nu \end{aligned}}}
x
2
q
i
−
a
2
+
y
2
q
i
−
b
2
=
2
z
+
q
i
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{q_{i}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q_{i}-b^{2}}}=2z+q_{i}}
(
q
1
,
q
2
,
q
3
)
=
(
λ
,
μ
,
ν
)
{\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )}
h
i
=
1
2
(
q
j
−
q
i
)
(
q
k
−
q
i
)
(
a
2
−
q
i
)
(
b
2
−
q
i
)
{\displaystyle h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})}}}}
Elliptic cylindrical coordinates
(
u
,
v
,
z
)
∈
[
0
,
∞
)
×
[
0
,
2
π
)
×
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (u,v,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )}
x
=
a
cosh
u
cos
v
y
=
a
sinh
u
sin
v
z
=
z
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh u\cos v\\y&=a\sinh u\sin v\\z&=z\end{aligned}}}
h
1
=
h
2
=
a
sinh
2
u
+
sin
2
v
h
3
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}}
Prolate spheroidal coordinates
(
ξ
,
η
,
ϕ
)
∈
[
0
,
∞
)
×
[
0
,
π
]
×
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )}
x
=
a
sinh
ξ
sin
η
cos
ϕ
y
=
a
sinh
ξ
sin
η
sin
ϕ
z
=
a
cosh
ξ
cos
η
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sinh \xi \sin \eta \cos \phi \\y&=a\sinh \xi \sin \eta \sin \phi \\z&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}}
h
1
=
h
2
=
a
sinh
2
ξ
+
sin
2
η
h
3
=
a
sinh
ξ
sin
η
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}}
Oblate spheroidal coordinates
(
ξ
,
η
,
ϕ
)
∈
[
0
,
∞
)
×
[
−
π
2
,
π
2
]
×
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )}
x
=
a
cosh
ξ
cos
η
cos
ϕ
y
=
a
cosh
ξ
cos
η
sin
ϕ
z
=
a
sinh
ξ
sin
η
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh \xi \cos \eta \cos \phi \\y&=a\cosh \xi \cos \eta \sin \phi \\z&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}}
h
1
=
h
2
=
a
sinh
2
ξ
+
sin
2
η
h
3
=
a
cosh
ξ
cos
η
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}}
Ellipsoidal coordinates
(
λ
,
μ
,
ν
)
λ
<
c
2
<
b
2
<
a
2
,
c
2
<
μ
<
b
2
<
a
2
,
c
2
<
b
2
<
ν
<
a
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2},\end{aligned}}}
x
2
a
2
−
q
i
+
y
2
b
2
−
q
i
+
z
2
c
2
−
q
i
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-q_{i}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-q_{i}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-q_{i}}}=1}
(
q
1
,
q
2
,
q
3
)
=
(
λ
,
μ
,
ν
)
{\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )}
h
i
=
1
2
(
q
j
−
q
i
)
(
q
k
−
q
i
)
(
a
2
−
q
i
)
(
b
2
−
q
i
)
(
c
2
−
q
i
)
{\displaystyle h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})(c^{2}-q_{i})}}}}
Bipolar cylindrical coordinates
(
u
,
v
,
z
)
∈
[
0
,
2
π
)
×
(
−
∞
,
∞
)
×
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )\times (-\infty ,\infty )}
x
=
a
sinh
v
cosh
v
−
cos
u
y
=
a
sin
u
cosh
v
−
cos
u
z
=
z
{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\\z&=z\end{aligned}}}
h
1
=
h
2
=
a
cosh
v
−
cos
u
h
3
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}}
Toroidal coordinates
(
u
,
v
,
ϕ
)
∈
(
−
π
,
π
]
×
[
0
,
∞
)
×
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}
x
=
a
sinh
v
cos
ϕ
cosh
v
−
cos
u
y
=
a
sinh
v
sin
ϕ
cosh
v
−
cos
u
z
=
a
sin
u
cosh
v
−
cos
u
{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}
h
1
=
h
2
=
a
cosh
v
−
cos
u
h
3
=
a
sinh
v
cosh
v
−
cos
u
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}
Bispherical coordinates
(
u
,
v
,
ϕ
)
∈
(
−
π
,
π
]
×
[
0
,
∞
)
×
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}
x
=
a
sin
u
cos
ϕ
cosh
v
−
cos
u
y
=
a
sin
u
sin
ϕ
cosh
v
−
cos
u
z
=
a
sinh
v
cosh
v
−
cos
u
{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sin u\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}
h
1
=
h
2
=
a
cosh
v
−
cos
u
h
3
=
a
sin
u
cosh
v
−
cos
u
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}
Conical coordinates
(
λ
,
μ
,
ν
)
ν
2
<
b
2
<
μ
2
<
a
2
λ
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\nu ^{2}<b^{2}<\mu ^{2}<a^{2}\\&\lambda \in [0,\infty )\end{aligned}}}
x
=
λ
μ
ν
a
b
y
=
λ
a
(
μ
2
−
a
2
)
(
ν
2
−
a
2
)
a
2
−
b
2
z
=
λ
b
(
μ
2
−
b
2
)
(
ν
2
−
b
2
)
a
2
−
b
2
{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac {\lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\end{aligned}}}
h
1
=
1
h
2
2
=
λ
2
(
μ
2
−
ν
2
)
(
μ
2
−
a
2
)
(
b
2
−
μ
2
)
h
3
2
=
λ
2
(
μ
2
−
ν
2
)
(
ν
2
−
a
2
)
(
ν
2
−
b
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}}
내용주 [ 편집 ]
↑ Eric W. Weisstein . “Orthogonal Coordinate System” . MathWorld . 2008년 7월 10일에 확인함 . ↑ Morse and Feshbach 1953 , Volume 1, pp. 494-523, 655-666.↑ Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 .
↑ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers , McGraw-Hill, pp. 164–182.
Morse and Feshbach (1953). “Methods of Theoretical Physics, Volume 1”. McGraw-Hill. Margenau H. and Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry , 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172–192.
Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud (2003) Tensor Analysis , pp. 81 – 88. 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b967298ef8aa5d1b20f98c99698d74ed639bbcae)
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![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(F_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(F_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(F_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507074e0312d74f218fab31eb2c8b8f5b1f4c006)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]\\[10pt]&+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}\\{\dfrac {\partial }{\partial q^{1}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{2}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{3}}}\\h_{1}F_{1}&h_{2}F_{2}&h_{3}F_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0cf253355fd6c635882210ba8aea0ce0a2ed69)
![{\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36a46d097a001f5efcd7baeb71a704a4b7d12a7)
![{\displaystyle (r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f80374da8b4cc0a2a38db8d858474b585b0574)
![{\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c343b31aeed0f8843151e697f796a225a14491)
![{\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93628d06c8efe1c6f60365cc5f80f615c07bca13)
![{\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000c3d0efd5294a2c0d125ea8f4a1052147fc971)
