ADM 형식

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아노윗-데세르-미스너 수식 체계(Arnowitt-Deser-Misner數式體系, 영어: Arnowitt–Deser–Misner formalism, 약자 ADM 수식 체계)는 일반 상대성 이론해밀턴 역학으로 표현하는 방법이다.[1][2][3][4][5][6] 시공간에 공간적 엽층을 준 뒤, 엽층의 각 잎의 (시공의 부분 다양체로서) 유도된 계량 텐서에 대하여 일반화 운동량을 정의한다. 잎의 계량 텐서 및 그 운동량에 포함되지 않는 (질량껍질 밖) 자유도는 라그랑주 승수 꼴로 나타나, 이론에 제약을 준다.

전개[편집]

그리스 문자 첨자 차원 시공간을, 로마자 첨자 차원 공간만을 나타낸다. 여기서는 −+++ 계량 부호수를 쓴다. 편의상 로 놓자.

계량 텐서의 분해[편집]

차원에서, 일반 상대성 이론의 동적 변수는 대칭 텐서인 계량 텐서 개의 성분들이다. 그러나 일반 상대성 이론은 임의의 미분 동형 사상게이지 대칭으로 가지며, 이는 (국소적으로) 와 같은 꼴이므로, 의 성분 가운데 개는 게이지 변환을 통해 흡수될 수 있으며, 따라서 실제 동적인 장들은 그 가운데

개이다. 즉, 계량 텐서를 다음과 같은 꼴로 표시할 수 있다.[2]:(3.9a), (3.10), (3.11a), (3.11b)

여기서 보조장 는 각각 경과장(經過場, 영어: lapse 랩스[*]) 및 이동장(移動場, 영어: shift 시프트[*])이라고 불린다. 역행렬이다 (특히, 역행렬의 성분이 아니다). 역행렬의 한 성분이다.

이 경우, 차원 계량 텐서의 행렬식은 다음과 같다.[2]:(3.12)

즉, 경과장 차원 계량으로 측정한 차원 초부피 원소(야코비 행렬식)와 차원 계량으로 측정한 차원 부피 원소(야코비 행렬식)의 비이다.

이러한 분해는 전자기 퍼텐셜 의 분해와 마찬가지다. 전자기학에서 가 게이지 변환에 의하여 라그랑주 승수 보조장이 되는 것처럼, 역시 마찬가지 역할을 한다.

운동량과 작용[편집]

일반 상대성 이론아인슈타인-힐베르트 작용으로 나타낼 수 있다.

여기서 계량 텐서, 로 계산한 리치 스칼라다.

이제 편의상 인 경우만을 생각하자. 에 대한 일반화 운동량 를 계산하면 다음과 같다.

에 대하여 해밀토니언을 정의하자. 그렇다면 작용은 다음과 같다.

여기서

이다. 즉 라그랑주 승수가 되며, 그 운동 방정식에 따라 이다.

운동 방정식[편집]

에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

보조장들에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

이들은 위상 공간의 제약을 나타내며, 전자기장의 가우스 법칙 제약과 유사하다. 보조장 자체는 임의로 값을 줄 수 있다. 이는 일반 상대성 이론에서 미분 동형 사상 대칭이 게이지 대칭이기 때문이다.

ADM 에너지-운동량[편집]

ADM 질량(영어: ADM質量) 또는 ADM 에너지(영어: ADM energy)는 ADM 형식에서 자연스럽게 등장하는 일종의 해밀토니언의 값이다.[7] 를 변수로 하여 양자화하면 라그랑주 승수 운동 방정식에 의하여 해밀토니언이 0이지만, 계량 텐서가 공간의 무한에서 점근적으로 평탄하다고 하고,

와 같이 쓰면 에 대한, 0이 아닌 해밀토니언을 정의할 수 있다. 이는 다음과 같다.[2]:(5.1)[8]:252–253[9]:595, (5.13), §5.2.1

여기서 적분 은 원점에서 반지름이 인 구면에 대하여 계산되고, 는 구면에 대한 수직 단위 벡터이다. 는 구면의 넓이 원소이다. 여기서 계수 슈바르츠실트 계량의 질량과 비교하여 고정된 것이다.

마찬가지로, ADM 운동량(ADM運動量, 영어: ADM momentum)을 정의할 수 있으며, 다음과 같다.[2]:(5.2)

만약 계량이 공간의 무한에서 점근적으로 평탄하지 않다면 (예를 들어, 우주 상수가 존재한다면), 위 적분들은 수렴하지 않을 수 있다.

성질[편집]

ADM 에너지-운동량 는 점근적 로런츠 변환에 대하여 4차원 벡터로 변환한다.[2]:§5.2[7]

존재 조건[편집]

차원 리만 다양체 가 주어졌으며, 유클리드 공간부분 집합

미분 동형이라고 하자 ( 속의 단위 초구). 즉, 이 경우 위 미분 동형 사상에 의하여 좌표계 및 함수 를 정의할 수 있다. 의 ADM 질량이 유한하게 존재할 충분 조건은, 다음 부등식들을 만족시키는 상수 가 존재하는 것이다.[9]:595, (5.14), §5.2.1

여기서 는 인 임의의 상수이며, 스칼라 곡률 함수이며, 위의 절댓값 적분 가능 실함수들의 집합(즉, Lp 공간의 특수한 경우)이다.

양 에너지 정리[편집]

양 에너지 정리(陽energy定理, 영어: positive-energy theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.[10][11]

  • 우세 에너지 조건을 만족시키고, ② 점근적으로 평탄한 4차원 시공간의 ADM 에너지는 음이 아닌 실수이며,
  • ①과 ②를 만족시키며, ③ ADM 에너지가 0인 4차원 시공간은 민코프스키 공간 밖에 없다.

리만-펜로즈 부등식[편집]

점근적으로 평탄한 3차원 리만 다양체 가 주어졌다고 하고, (시간 불변 시공간으로 간주하였을 때) 그 ADM 질량이 이라고 하자. 또한, 극소 곡면 가운데 제일 바깥에 있는 것의 넓이가 라고 하자. (이러한 극소 곡면연결 공간이 아닐 수 있다.) 그렇다면, 리만-펜로즈 부등식(Riemann-Penrose不等式, 영어: Riemann–Penrose inequality)에 따르면, 다음이 성립한다.

이는 양 에너지 정리의 일반화이다.

역사[편집]

아노윗 (左) · 데세르 (中) · 미스너 (右). 2009년 사진

리처드 루이스 아노윗(영어: Richard Lewis Arnowitt, 1928~2014) · 스탠리 데세르(폴란드어: Stanley Deser, 1931~) · 찰스 미스너(영어: Charles W. Misner, 1932~)가 1959년~1961년에 도입하였다.[12][13][14][15][16][17][18][19][20][21]

양 ADM 에너지 정리는 1979년에 리처드 멜빈 셰인(영어: Richard Melvin Schoen)과 야우싱퉁이 최초로 증명하였다.[22] 이후 1981년에 에드워드 위튼순간자를 통한 새 증명을 제시하였고,[23] 이듬해에 토머스 파커(영어: Thomas Parker)와 클리퍼드 헨리 토브스(영어: Clifford Henry Taubes)가 위튼의 증명을 수학적으로 엄밀하게 보완하였다.[24]

리만-펜로즈 부등식은 1973년에 로저 펜로즈가 물리학을 사용하여 추측하였으며,[25] 2001년에 휴버트 루이스 브레이(영어: Hubert Lewis Bray) · 게르하르트 후이스켄(독일어: Gerhard Huisken, 1958~) · 톰 일매넌(영어: Tom Ilmanen, 1961~)이 수학적으로 엄밀히 증명하였다.[26][27]

참고 문헌[편집]

  1. Deser, Stanley (2008). “Arnowitt–Deser–Misner formalism”. 《Scholarpedia》 (영어) 3 (10): 7533. doi:10.4249/scholarpedia.7533. ISSN 1941-6016. 
  2. Arnowitt, Richard; Stanley Deser, Charles W. Misner (2008년 9월). “Republication of: The dynamics of general relativity”. 《General Relativity and Gravitation》 (영어) 40 (9): 1997–2027. arXiv:gr-qc/0405109. Bibcode:2008GReGr..40.1997A. doi:10.1007/s10714-008-0661-1. ISSN 0001-7701. 
  3. Франке, Валентин Альфредович (2006). “Разные канонические формулировки теории гравитации Эйнштейна”. 《Теоретическая и Математическая Физика》 (러시아어) 148 (1): 143–160. doi:10.4213/tmf2065. ISSN 0564-6162. MR 2283655.  영역 Franke, Valentin Alfredovich (2006년 7월). “Different canonical formulations of Einstein’s theory of gravity”. 《Theoretical and Mathematical Physics》 (영어) 148 (1): 995–1010. arXiv:0710.4953. Bibcode:2006TMP...148..995F. doi:10.1007/s11232-006-0096-3. ISSN 0040-5779. Zbl 1177.83021. 
  4. Peldán, Peter (1994년 5월). “Actions for gravity, with generalizations: a review”. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 11 (5): 1087–1132. arXiv:gr-qc/9305011. Bibcode:1994CQGra..11.1087P. doi:10.1088/0264-9381/11/5/003. ISSN 0264-9381. 
  5. Nelson, J. E. (2006). 〈Some applications of the ADM formalism〉. Liu, James T.; Duff, Michael J.; Stelle, Kellogg S.; Woodard, Richard P. 《Deserfest: a celebration of the life and works of Stanley Deser》 (영어). World Scientific. 193–206쪽. arXiv:gr-qc/0408083. Bibcode:2004gr.qc.....8083N. ISBN 981-256-082-3. 
  6. Dengiz, Suat (2011). 《3+1 orthogonal and conformal decomposition of the Einstein equation and the ADM formalism for general relativity》 (영어). 석사 학위 논문. 중동 공과대학교. arXiv:1103.1220. Bibcode:2011arXiv1103.1220D. 
  7. Deser, Stanley (2008). “Arnowitt–Deser–Misner energy”. 《Scholarpedia》 (영어) 3 (10): 7596. doi:10.4249/scholarpedia.7596. ISSN 1941-6016. 
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