페르마 수

페르마 수(영어: Fermat Number)는 음이 아닌 정수 n에 대해

$F_{n}=2^{2^{n}}+1$

형태로 나타나는 양의 정수를 말한다. 이러한 형태의 수를 최초로 연구한 피에르 드 페르마의 이름을 딴 것이다.

최초 여덟개의 페르마 수는 다음과 같다(OEIS의 수열 A000215):

F₀ = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2² + 1 = 5

F₂ = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2⁸ + 1 = 257

F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65537

F₅ = 2³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417 (오일러, 1732)

F₆ = 2⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F₇ = 2¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

성질

• 1. n>1인 경우, 어떤 페르마 수의 약수를 p라고 하면, $p\equiv 1{\pmod {8}}$이다.
• 2. 페르마 수들은 3과 5를 제외하면 모두 7로 끝난다.
• 3. 1번과 마찬가지로 n>1인 경우, 어떤 페르마 수의 약수를 p라고 하면 $p=k\cdot 2^{n+2}+1$ (k는 k>0인 정수)이다.

소수성

2ⁿ + 1 꼴의 수가 소수라면 n은 반드시 2의 거듭제곱이어야 한다. 따라서 2ⁿ + 1 꼴의 소수는 모두 페르마 수가 된다. 이러한 소수를 페르마 소수라고 한다. 현재까지 알려진 페르마 소수는 F₀,...,F₄ 뿐이다. 보통 어떤 수가 페르마 소수인지 확인할 때에는 페팽 소수판별법이 많이 쓰인다.

n > 4인 페르마 소수는 아직 알려져 있지 않다. 그밖에도 다음과 같은 의문은 해결되지 않고 있다.

• n > 4인 F_n이 모두 합성수인가?
• 페르마 소수가 무한히 많은가?
• 합성수인 페르마 수가 무한히 많은가?

5 ≤ n ≤ 32 사이의 모든 F_n은 합성수라는 것이 밝혀졌다. 이 중 5 ≤ n ≤ 11 사이의 수만이 완전한 소인수분해가 구해져 있다.

소수성 상태

페르마 수 F_n 에 대하여 현재의 소수성 상태의 적요가 아래 표에 주어져 있다.

Fn의 특성	n
소수	0, 1, 2, 3, 4
완전히 인수분해 됨	5, 6, 7, 8 (각각 2개의 소인수), 9 (소인수 3개), 10 (소인수 4개), 11 (소인수 5개)
6개의 소인수가 알려짐	12
4개의 소인수가 알려짐	13
3개의 소인수가 알려짐	15, 19, 25, 52, 287
2개의 소인수가 알려짐	16, 17, 18, 27, 30, 36, 38, 39, 42, 77, 147, 150, 284, 416, 417
오직 1개의 소인수가 알려짐	14, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 32, 37, 43, ...(265개)... 5523858
합성수임은 확인되었으나 소인수를 모름	20, 24
소수인지 합성수인지 모름	33, 34, 35, 40, 41, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ...

역사

피에르 드 페르마는 1637년 위 형태로 쓸 수 있는 모든 정수는 소수일 것이라고 추측했으나 1732년 레온하르트 오일러가 F₅=4,294,967,297를 641 × 6,700,417 로 소인수분해 함으로써 반증 되었다.

작도 가능한 다각형과의 관계

한편, n이 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수의 곱들로 표현가능하다는 것과, 정n각형은 작도 가능하다는 것이 필요충분조건이다. 즉, 다시 말해서 $p_{1},p_{2},\cdots ,p_{k}$가 모두 서로 다른 페르마 소수일 경우 $n=2^{m}p_{1}p_{2}\cdots p_{k}$이면 정n각형은 작도 가능한 정다각형이 되고 그 역도 성립한다.

읽을거리

• 메르센 소수
• 작도