힐베르트 호텔

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

힐베르트 호텔 역설은 수학에서 무수히 많은 방이 있는 호텔에 손님이 가득 차 있을 때는 몇 명의 손님이 더 오더라도 손님들의 방을 재배열하여 새로운 손님이 투숙할 공간을 마련할 수 있다는 내용의 사고실험이다.

무수히 많은 방이 있는 호텔에는 각 방마다 번호 1, 2, 3, ... 이 붙어있다. 이 호텔에 손님이 가득 찼던 어느날 한 명의 손님이 찾아왔다. 손님이 가득 차서 새로온 손님이 투숙하는 것이 불가능해 보이지만, 관리인은 1번방의 손님은 2번방으로, 2번방의 손님은 3번방으로... 기존의 손님들의 방을 재배열하여 1번방이 비게 한 후에 새로 온 손님이 1번방에 투숙하는 것이 가능하도록 하였다. 이 호텔에 손님이 가득 찼던 또 다른 어느날 이번엔 무수히 많은 손님이 찾아왔다. 손님이 가득 차서 새로운 손님이 투숙하는 것이 불가능해 보이지만, 관리인은 1번방의 손님은 2번방으로, 2번방의 손님은 4번방으로, ... 일반적으로 각각의 방에 있던 손님을 그 방번호의 두 배의 방번호를 가진 방으로 배정하여 무수히 많은 빈 방을 새로 마련하였다.

이번에는 무수히 많은 팀이 투숙을 하기 위해 찾아왔는데, 각 팀은 무수히 많은 멤버를 데리고 있다. 그렇지만, 이번 경우에도 관리인은 교묘하게 손님들을 배열하여 투숙하게 하였다.

그런데 여기서 주의할 점은, 수학적으로 임의의 무한집합과 일대일 대응되는 수의 손님이 찾아왔을 때 모두 투숙하게 한다는 것은 불가능하다는 것이다. 사실, 무수히 많다는 표현은 모호하며, 얼마나 많이 무수한지에 대한 점이 분명해져야 이 문제를 논의할 수 있다. 예를들어, 무수히 많은 팀이 투숙을 위해 찾아왔는데, 각 팀의 멤버는 자연수를 등넘버로 가지고 있고, 등넘버와 별도로 고유한 번호를 가지고 있으며, 각 팀에는 모든 자연수가 정확히 한 번씩 등넘버와 고유한 번호로 등장하며, 또한, 임의의 자연수 수열에 대하여, 고유한 번호의 순서로 등넘버를 나열했을 때, 그 수열과 일치하는 순서가 되는 팀이 존재할 만큼 많은 팀이 찾아온다면, 자연수 번호가 붙은 호텔에 모두 투숙하게 하는 것은 불가능함을 알 수 있다.