힐베르트 영점 정리

대수기하학에서 힐베르트 영점 정리(Hilbert零點定理, Hilbert's Nullstellensatz 눌슈텔렌자츠^[*])는 대수적으로 닫힌 체의 다항식 환의 아이디얼이 정의하는 대수 집합을 근으로 갖는 극대 아이디얼이 원래 아이디얼의 소근기라는 정리다. 대수기하학의 가장 근본적인 정리 중 하나로서, 대수적인 성질과 기하학적인 성질을 연관짓는다.

정의

$k$가 체라고 하자. $K$가 $k$의 대수적으로 닫힌 확대라고 하자. $I$가 다항식환 $k[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$의 아이디얼이라고 하자.

다항식환 $k[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]$의 아이디얼 $J$에 대하여, 그 아이디얼의 영점(근의 집합)의 교집합 ${\mathcal {V}}(J)\subset K^{n}$를 정의할 수 있다. (여기서 $K^{n}$는 $K$에 대한 $n$차원 아핀 공간이다.) ${\mathcal {V}}(J)$는 정의상 대수 집합을 이룬다. 또한, 대수적 집합 $W\subset K^{n}$가 주어지면, 그 영점이 $W$를 포함하는 다항식들의 집합 ${\mathcal {I}}(W)\subset k[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]$를 정의할 수 있다. 이는 아이디얼을 이룬다.

힐베르트 영점 정리는 다음과 같다. 다항식환의 아이디얼 $J\subset k[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]$에 대하여,

${\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(J))={\sqrt {J}}$

이다. 여기서 ${\sqrt {J}}$는 $J$의 소근기이다.

특히, $k$가 대수적으로 닫힌 경우 ($k=K$), ${\mathcal {V}}$와 $I$는 $k[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]$의 반소 아이디얼의 집합과 $k^{n}$의 대수 집합의 집합 사이의 전단사 함수이며, 서로의 역함수이다. 다항식환의 소 아이디얼은 $K^{n}$의 대수다양체(기약 대수 집합)에 일대일로 대응한다.

약한 형태

약한 힐베르트 영점 정리(weak Nullstellensatz)는 다음과 같다. 만약 아이디얼 $J\subset k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$이 단위 아이디얼이 아니라면 ($J\neq k[x_{1},\dots ,x_{n}]$), $J$는 영점을 가진다 (${\mathcal {V}}(J)\neq \emptyset$).

만약 $k$가 대수적으로 닫힌 체인 경우, $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$의 모든 극대 아이디얼 $J$는 다음과 같은 꼴이다.

$J=(x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})$ ($a_{i}\in k$).

역사와 어원

다비트 힐베르트가 1893년에 증명하였다. 이 정리의 독일어명 독일어: Nullstellensatz 눌슈텔렌자츠^[*]는 Null 눌^[*](영) + Stellen 슈텔렌^[*](위치들) + Satz 자츠^[*](정리)의 합성어이다.

참고 문헌

• Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. 
• Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. 

외부 링크

• “Hilbert theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Effective Nullstellensatz”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Nullstellensatz”. 《nLab》 (영어).