힐베르트 영점 정리

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대수기하학에서, 힐베르트 영점 정리(Hilbert零點定理, Hilbert's Nullstellensatz 눌슈텔렌자츠[*])는 대수적으로 닫힌 체다항식 환의 아이디얼이 정의하는 대수 집합을 근으로 갖는 극대 아이디얼이 원래 아이디얼의 소근기라는 정리다. 대수기하학의 가장 근본적인 정리 중 하나로서, 대수적인 성질과 기하학적인 성질을 연관짓는다.

정의[편집]

라고 하자. 대수적으로 닫힌 확대라고 하자. 다항식환 아이디얼이라고 하자.

다항식환 아이디얼 에 대하여, 그 아이디얼의 영점(근의 집합)의 교집합 를 정의할 수 있다. (여기서 에 대한 차원 아핀 공간이다.) 는 정의상 대수 집합을 이룬다. 또한, 대수적 집합 가 주어지면, 그 영점이 를 포함하는 다항식들의 집합 를 정의할 수 있다. 이는 아이디얼을 이룬다.

힐베르트 영점 정리는 다음과 같다. 다항식환의 아이디얼 에 대하여,

이다. 여기서 소근기이다.

특히, 대수적으로 닫힌 경우 (), 반소 아이디얼의 집합과 대수 집합의 집합 사이의 전단사 함수이며, 서로의 역함수이다. 다항식환소 아이디얼대수다양체(기약 대수 집합)에 일대일로 대응한다.

약한 형태[편집]

약한 힐베르트 영점 정리(weak Nullstellensatz)는 다음과 같다. 만약 아이디얼 이 단위 아이디얼이 아니라면 (), 는 영점을 가진다 ().

만약 대수적으로 닫힌 체인 경우, 의 모든 극대 아이디얼 는 다음과 같은 꼴이다.

().

역사와 어원[편집]

다비트 힐베르트가 1893년에 증명하였다.[1] 이 정리의 독일어명 독일어: Nullstellensatz 눌슈텔렌자츠[*]Null [*](영) + Stellen 슈텔렌[*](위치들) + Satz 자츠[*](정리)의 합성어이다.

참고 문헌[편집]

  1. Hilbert, David (1893년 9월 1일). “Ueber die vollen Invariantensysteme”. 《Mathematische Annalen42 (3): 313-373. doi:10.1007/BF01444162. ISSN 0025-5831. JFM 25.0173.01. 

바깥 고리[편집]