횔더 연속 함수

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해석학에서, 횔더 연속 함수(Hölder連續函數, 영어: Hölder-continuous function)는 두 점 사이의 거리를 일정 거듭제곱 이상으로 증가시키지 않는 함수이다. 립시츠 연속 함수의 개념의 일반화이다.

정의[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 로비어 공간 ,
  • 음이 아닌 실수

임의의 함수 가 다음 조건을 만족시킨다면, -횔더 연속 함수라고 한다.[1]:254, §5.1

  • 모든 에 대하여, 가 존재한다.

만약 임의의 함수 가 다음 조건을 만족시킨다면, 국소 -횔더 연속 함수(영어: locally -Hölder-continuous function)라고 한다.

  • 임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 가 존재한다.

임의의 함수 에 대하여, -횔더 반노름(영어: -Hölder seminorm)을 다음과 같이 정의하자.[1]:254, §5.1

즉, 어떤 함수가 -횔더 연속 함수인 것은 유한한 -횔더 반노름을 갖는 것과 동치이다.

-횔더 연속 함수들의 공간을 로 표기하자. 이 위에는 -횔더 반노름을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다.

성질[편집]

0-횔더 연속 함수는 유계 함수이며, 1-횔더 연속 함수는 -립시츠 연속 함수이다. 임의의 에 대하여, -횔더 연속 함수는 연속 함수이다. (그러나 물론 유계 함수연속 함수가 아닐 수 있다.)

포함 관계[편집]

만약 콤팩트 공간이라고 하자. 그렇다면, 지름이 유한하며, 임의의 에 대하여, 자연스러운 포함 사상

이 존재한다. 즉, 다음이 성립한다.

따라서, 위 포함 관계는 연속 함수이자 사실 작용소 노름 이하인 유계 작용소이다. 또한, 아르첼라-아스콜리 정리에 의하여, 에서의 유계 집합에서의 상대 콤팩트 집합이다.

[편집]

함수

를 생각하자. 이는 연속 함수이며 (정의역콤팩트 공간이므로) 균등 연속 함수이지만, 0 근처에서 매우 가파르게 감소하므로 임의의 에 대하여 -횔더 연속 함수가 되지 못한다.

임의의 에 대하여, 함수

에 대하여 -횔더 연속 함수이지만, 일 경우 -횔더 연속 함수가 아니다.

페아노 곡선[편집]

전사 -횔더 연속 함수

가 존재한다. 즉, 이는 페아노 곡선의 일종이다. 그러나 의 경우, 전사 -횔더 연속 함수 는 존재할 수 없다.

역사[편집]

오토 횔더가 1882년 박사 학위 논문[2]에서 도입하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Evans, Lawrence C. (2010). 《Partial differential equations》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 19 2판. 
  2. Hölder, Otto (1882). 《Beiträge zur Potentialtheorie》 (독일어). 튀빙겐 대학교 박사 학위 논문. 슈투트가르트: Druck der J. B. Metzlerschen buchdruckerei. 

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]