화살집 게이지 이론

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양자장론에서, 화살집 게이지 이론(화살집gauge異論, quiver gauge theory)은 특정한 꼴의 화살집으로 정의되는 게이지 이론이다.

정의[편집]

편의상, 4차원 시공간의 초대칭 게이지 이론을 생각하자.

화살집 게이지 이론은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 유한 화살집
  • 의 각 꼭짓점 에 대하여, 연결 콤팩트 리 군 . 이는 유니터리 군 , 특수 유니터리 군 , 특수 직교군 , 심플렉틱 군 가운데 하나이어야 한다.

이 경우, 화살집 게이지 이론은 다음과 같은 4차원 초대칭 게이지 이론이다.

  • 게이지 군은 이다.
  • 의 각 변 에 대하여, 정의 표현(영어: defining representation) 로 변환하는 손지기 초장 이 존재한다.

이러한 표현을 쌍기본 표현(bifundamental representation)이라고 한다. 예를 들어, 사이에 있는 변은 6차원 표현 으로 변환한다.

다른 차원의 경우도 마찬가지의 꼴로 화살집 게이지 이론을 정의할 수 있다.

화살집 도형은 특히 등각 게이지 이론을 나타내는 데 편하다. 화살집 도형의 구조로 이론이 등각 대칭을 보존하는지 여부를 쉽게 확인할 수 있다.

성질[편집]

변칙 상쇄 조건[편집]

편의상, 4차원 SU(N)×…×SU(N) 양-밀스 이론을 생각하자. 이는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 유한 화살집
  • 함수 . 즉, 각 꼭짓점 에 대하여, 2 이상의 정수 . 즉, 이 꼭짓점은 게이지 군 에 대응한다.

이제, 다음과 같은 부호 결합 행렬(영어: signed incidence matrix)을 정의하자.

그렇다면, 부호 인접 행렬(영어: signed adjacency matrix)

을 정의할 수 있다.

또한, 열벡터로 간주하자.

에 대응되는 화살집 게이지 이론이 게이지 변칙을 갖지 않으려면, 다음 조건이 성립해야 한다.[1]:(2.4)

이는 각 꼭짓점 에서, 기본 표현과 반기본 표현의 수의 합이 0이 되어야 하기 때문이다. (만약 일 경우, 대역적 위튼 변칙이 발생한다.)

끈 이론을 통한 구성[편집]

일부 화살집 게이지 이론은 ALE 공간 위에 평행한 D-막들을 놓았을 때, 이 D-막의 포갬 위에 존재하는 유효 장론으로 구성될 수 있다.[2][3][1]:§2.2

역사[편집]

수컷 말코손바닥사슴은 화려한 뿔을 가진다.

게이지 이론의 구조를 화살집으로 나타내는 아이디어는 하워드 조자이가 1985년에 최초로 도입하였다.[4] 조자이는 이러한 화살집을 “무스”(영어: moose라고 불렀는데, 이는 말코손바닥사슴을 뜻한다. 이는 화살집의 모양을 수컷 말코손바닥사슴의 뿔에 빗댄 것이다.

마이클 더글러스(영어: Michael R. Douglas, 1961~)와 그레고리 윈스럽 무어가 이러한 꼴의 이론이 끈 이론에서 자연스럽게 발생한다는 것을 1996년에 증명하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Yamazaki, Masahito (2008년 6월). “Brane tilings and their applications”. 《Fortschritte der Physik》 (영어) 56 (6): 555-686. Bibcode:2008ForPh..56..555Y. ISSN 0015-8208. arXiv:0803.4474. doi:10.1002/prop.200810536. 
  2. Douglas, Michael R.; Moore, Gregory Winthrop (1996). “D-branes, quivers, and ALE instantons” (영어). Bibcode:1996hep.th....3167D. arXiv:hep-th/9603167. 
  3. Belhaj, Adil (2003년 7월). “On geometric engineering of N=1 ADE quiver models” (영어). Bibcode:2003hep.th...10230B. arXiv:hep-th/0310230. 
  4. Georgi, Howard (1986). “Composite models and GUTS (?) or fun with mooses” (영어). Bibcode:1986grun.conf..349G.