호흐실트 호몰로지

추상대수학에서 호흐실트 호몰로지(영어: Hochschild homology)와 호흐실트 코호몰로지(영어: Hochschild cohomology)는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 호몰로지 · 코호몰로지 이론이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• $K$-결합 대수 $A$
• $(A,K,A)$-쌍가군 $_{A}M_{A}$. 즉, $M$은 $(A,A)$-쌍가군이며, 또한 $M$ 위의 왼쪽 $K$-작용이 오른쪽 $K$-작용과 일치한다고 하자.

호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치이다.

• 호흐실트 (코)호몰로지는 Ext 함자 (또는 Tor 함자)의 특수한 경우로 추상적으로 정의될 수 있다.
• 호흐실트 (코)호몰로지는 호흐실트 (공)사슬 복합체(영어: Hochschild (co)chain complex)라는 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 구체적으로 정의될 수 있다.
• 호흐실트 (코)호몰로지는 단체 대상의 이론을 통해 정의될 수 있다.

흔히, $_{A}M_{A}={}_{A}A_{A}$인 특수한 경우가 자주 사용된다.

추상적 정의

$A$의 포락 대수(包絡代數, 영어: enveloping algebra)

$A^{\operatorname {e} }=A\otimes _{K}A^{\operatorname {op} }$

를 정의할 수 있다. 이는 $K$-결합 대수이며, $M$은 $A^{\operatorname {e} }$-왼쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로, $A$도 $A^{\operatorname {e} }$의 왼쪽 가군을 이룬다. 구체적으로,

$(a\otimes _{K}b^{\operatorname {op} })\cdot m=a\cdot m\cdot b\qquad \forall a,b\in A,m\in M$

$(a\otimes _{K}b^{\operatorname {op} })\cdot c=a\cdot c\cdot b\qquad \forall a,b,c\in A$

이다.

$A$의 $M$계수의 호흐실트 호몰로지 군 $\operatorname {HH} _{n}(A;M)$ 및 호흐실트 코호몰로지 군 $\operatorname {HH} ^{n}(A;M)$은 다음과 같이 Ext 함자 및 Tor 함자로 정의된다.

$\operatorname {HH} _{n}(A;M)=\operatorname {Tor} _{n}^{A^{\operatorname {e} }}(A,M)$

$\operatorname {HH} ^{n}(A;M)=\operatorname {Ext} _{A^{\operatorname {e} }}^{n}(A,M)$

구체적 정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• $K$-가군 범주의 단체 대상 $(X_{\bullet },\partial _{\bullet ,i},s_{\bullet ,i})$

그렇다면,

$\partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-)^{i}\partial _{n,i}$

를 정의하면,

$\partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0$

이 되어, 사슬 복합체

$\dotsb {\xleftarrow {\partial }}X_{2}{\xleftarrow {\partial }}X_{1}{\xleftarrow {\partial }}X_{0}\to 0$

를 정의할 수 있다. 이 사슬 복합체의 호몰로지를 단체 가군 $X_{\bullet }$의 호흐실트 호몰로지라고 한다. 마찬가지로, 이 사슬 복합체의 쌍대 가군들로 구성된 공사슬 복합체

$X^{n}=\hom _{K}(X_{n},K)$

$0\to X^{1}\to X^{2}\to \dotsb$

의 코호몰로지를 단체 가군 $X_{\bullet }$의 호흐실트 코호몰로지라고 한다. (호흐실트 (코)호몰로지의 정의에는 퇴화 사상 $s_{\bullet ,i}$이 쓰이지 않는다.)

특히, 만약 위와 같이 $K$ 위의 결합 대수 $A$와 $(A,K,A)$-쌍가군 $M$이 주어졌다면, 다음과 같은 호흐실트 단체 가군(영어: Hochschild simplicial module) $C_{\bullet }(A;M)$을 정의할 수 있다.^{:45, (1.6.1.2)}

$C_{n}(A;M)=M\otimes _{K}A^{\otimes _{K}n}$

$\partial _{n,i}\colon C_{n}(A;M)\to C_{n+1}(A;M)$

$\partial _{n,i}\colon m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto {\begin{cases}(ma_{1})\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}&i=0\\m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i-1}\otimes _{K}a_{i}a_{i+1}\otimes _{K}a_{i+2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}a_{n}&0<i<n\\a_{n}m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n-1}&i=n\end{cases}}$

$s_{n,i}\colon C_{n}(A;M)\to C_{n-1}(A;M)$

$s_{n,i}\colon a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i}\otimes _{K}1\otimes _{K}a_{i+1}\otimes _{K}a_{n}$

결합 대수 $A$의 $M$계수 호흐실트 호몰로지란 그 호흐실트 단체 가군의 호흐실트 호몰로지를 말한다.

$C_{\bullet }(A;M)$은 사슬 복합체로서

$M\otimes _{A^{\operatorname {e} }}\operatorname {Bar} _{\bullet }(A,A,A)$

의 꼴이다. 여기서 $\operatorname {Bar} _{\bullet }(A,A,A)$는 $A$의 막대 복합체이다. 이제, 이를 쌍대화하여 공사슬 복합체

$C^{\bullet }(A;M)=\hom _{A^{\operatorname {e} }}(\operatorname {Bar} _{\bullet }(A,A,A),M)$

를 정의할 수 있으며, $A$의 $M^{\vee }$계수 호흐실트 코호몰로지란 이 공사슬 복합체의 코호몰로지이다.

위상수학적 정의

$A$ 계수의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같이 임의의 가군 범주 속의 단체 대상에 대하여 일반화될 수 있다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• $\operatorname {Mod} _{K}$ 속의 단체 대상 $X\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Mod} _{K}$. 여기서 $\triangle$은 단체 범주이다.

그렇다면, 단체 가군의 범주 $\hom(\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K})$은 아벨 범주이므로 그 속에서 Ext 함자를 정의할 수 있다. 또한, 단체 가군의 텐서곱을 정의할 수 있으며, 그 유도 함자로서 Tor 함자를 정의할 수 있다.

이 경우, $X$의 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지는 각각 다음과 같다.^:§6.2

$\operatorname {HH} _{n}(X)=\operatorname {Tor} _{n}^{\hom(\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K})}(K_{\bullet },X)$

$\operatorname {HH} ^{n}(X)=\operatorname {Ext} _{\hom(\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K})}^{n}(X,K_{\bullet })$

여기서 $K_{\bullet }$는 모든 성분이 1차원 자유 가군 $K$이며, $s_{n}^{i}$ 및 $d_{n}^{i}$ 모두가 항등 함수인 자명한 단체 대상이다.

(사실, 만약 $A=M$이라면, 호흐실트 단체 가군 $C_{n}(A;A)$는 추가로 순환 대상을 이룬다. 이 경우, 단체 가군의 범주 대신 순환 가군의 범주 $\hom(\triangle _{\operatorname {Cyc} }^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K})$에서 Tor 함자와 Ext 함자를 취할 수 있으며, 이 경우 순환 (코)호몰로지를 얻는다.^{:213, Theorem 6.2.8:214, Theorem 6.2.9})

성질

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 및 $(A,K,A)$-쌍가군 $M$에 대하여, 호흐실트 호몰로지 $\operatorname {HH} ^{n}(A;M)$ 및 호흐실트 코호몰로지 $\operatorname {HH} ^{n}(A;M)$는 $K$-가군이며, 사실 $\operatorname {Z} (A)$-가군을 이룬다.^{:10, §1.1.5}

함자성

임의의 가환환 $K$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수의 범주 $\operatorname {Alg} _{K}$와, $K$-결합 대수 $A$가 주어졌을 때 $(A,K,A)$-쌍가군의 범주 $_{A}\operatorname {Mod} _{A}$를 생각하자.

그렇다면, 호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같은 함자를 정의한다.^{:10, §1.1.4}

$\operatorname {HH} _{n}\colon {}_{A}\operatorname {Mod} _{A}\to \operatorname {Mod} _{\operatorname {Z} (A)}$

$\operatorname {HH} ^{n}\colon {}_{A}\operatorname {Mod} _{A}\to \operatorname {Mod} _{\operatorname {Z} (A)}$

또한, 임의의 $K$-결합 대수 준동형

$\phi \colon B\to A$

및 $(A,K,A)$-쌍가군 $M$에 대하여, $\phi ^{*}M$은 $(B,K,B)$-쌍가군을 이루며, 이는 호흐실트 호몰로지의 사상^{:10, §1.1.4}

$\phi _{*}\colon \operatorname {HH} ^{\bullet }(B;\phi ^{*}M)\to \operatorname {HH} _{n}(A;M)$

및 호흐실트 코호몰로지의 사상^{:38, §1.5.1}

$\phi ^{*}\colon \operatorname {HH} ^{\bullet }(A;M)\to \operatorname {HH} ^{n}(B;\phi ^{*}M)$

을 유도한다.

특히, 만약 $M=A$일 때, 이는 $K$-결합 대수의 범주(의 반대 범주)에서 $K$-가군의 범주로 가는 함자

$\operatorname {HH} _{n}(-)\colon \operatorname {Alg} _{K}\to \operatorname {Mod} _{K}$

$\operatorname {HH} ^{n}(-)\colon \operatorname {Alg} _{K}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Mod} _{K}$

를 정의한다.

예

0차 호흐실트 (코)호몰로지

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 및 $(A,K,A)$-쌍가군 $M$이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 호흐실트 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

$C_{0}(A;M)=M$

$C_{1}(A;M)=M\otimes _{K}A$

$\partial _{1}=\partial _{1,0}-\partial _{1,1}$

$\partial _{1,0}\colon m\otimes _{K}a\mapsto ma$

$\partial _{1,1}\colon m\otimes _{K}a\mapsto am$

이에 따라,

$\operatorname {HH} _{0}(A;M)={\frac {M}{[M,A]}}$

이다.^{:10, §1.1.6}

마찬가지로, 호흐실트 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

$C^{0}(A;M)=M$

$C^{1}(A;M)=M\otimes A^{\vee }$

$\mathrm {d} ^{0}\colon C^{0}(A;M)\to C^{1}(A;M)$

$\mathrm {d} ^{0}(m)(a)=ma-am$

이에 따라,

$\operatorname {HH} ^{0}(A;M)=\{m\in M\colon am=ma\qquad \forall a\in A\}$

는 환의 중심의 개념의 일반화이다.^{:38, §1.5.2}

1차 호흐실트 코호몰로지

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 및 $(A,K,A)$-쌍가군 $M$이 주어졌다고 하자.

1차 호흐실트 코호몰로지는 다음과 같다.^{:38, §1.5.2} 1차 호흐실트 공순환은 $K$-가군 준동형

$\delta \colon A\to M$

가운데

$\delta (ab)=a\delta (b)+\delta (a)b$

와 같은 곱 규칙을 만족시키는 것이다. 이러한 것들을 미분(영어: derivation)이라고 하자. 반면, 1차 호흐실트 공경계는

$[m,-]\colon A\to M\qquad (m\in M)$

와 같은 꼴의 $K$-가군 준동형이다. 즉, 이러한 것들을 내부 미분(영어: inner derivation)이라고 하자. 그렇다면, 1차 호흐실트 코호몰로지는 미분의 공간의, 내부 미분에 대한 몫, 즉 외부 미분(영어: outer derivation)의 공간으로 여겨질 수 있다.

가환 대수

가환환 $K$ 위의 가환 결합 대수 $A$ 및 $A$-가군 $M$에 대하여, 처음 두 개의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.^{:307, Proposition 9.2.2:11, Proposition 1.1.10}

$\operatorname {HH} _{0}(A;M)\cong M$

$\operatorname {HH} _{1}(A;M)\cong M\otimes _{A}\Omega _{A/K}$

여기서 $\Omega _{A/K}$는 켈러 미분의 가군이다.

즉, 1차 호흐실트 호몰로지는 1차 미분 형식에 대응한다. 비가환 기하학에서는 이를 사용하여 비가환 공간 위의 미분 형식을 정의한다.

다항식환

복소수 계수 다항식환 $\mathbb {C} [{\vec {x}}]$ (${\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{k}$)의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.

$\operatorname {HH} _{n}(\mathbb {C} [{\vec {x}}];\mathbb {C} [{\vec {x}}])=\mathbb {C} [{\vec {x}}]\otimes _{\mathbb {C} }\Lambda ^{n}(\mathbb {C} ^{k})$

여기서 $\Lambda ^{n}(-)$는 외대수이다. 구체적으로, $n$차 호흐실트 사슬은 다음과 같은 꼴이다.

$C_{n}(\mathbb {C} [{\vec {x}}])=\mathbb {C} [{\vec {x}}_{0},{\vec {x}}_{1},\dotsc ,{\vec {x}}_{n}]$

호흐실트 사슬에 대응하는 호몰로지 동치류는 다음과 같다.

$p({\vec {x}}_{0},\dotsc ,{\vec {x}}_{n})\mapsto \sum _{i_{1}=1}^{k}\sum _{i_{2}=1}^{k}\dotsi \sum _{i_{n}=1}^{k}\left.{\frac {\partial }{\partial (x_{1})^{i_{1}}}}{\frac {\partial }{\partial (x_{2})^{i_{2}}}}\dotsm {\frac {\partial }{\partial (x_{n})^{i_{n}}}}p\right|_{{\vec {x}}_{0}={\vec {x}}_{1}={\vec {x}}_{2}=\dotsb ={\vec {x}}_{n}={\vec {x}}}\mathrm {d} (x_{1})^{i_{1}}\wedge \mathrm {d} (x_{2})^{i_{2}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} (x_{n})^{i_{n}}$

역사

게르하르트 호흐실트가 1945년에 체 위의 결합 대수에 대하여 도입하였다. 이후 앙리 카르탕과 사무엘 에일렌베르크가 일반적인 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의하였다.

외부 링크

• “Cohomology of algebras”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hochschild-Kamowitz complex”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Hochschild cohomology”. 《nLab》 (영어). 
• Webster, Ben (2007년 7월 22일). “Hochschild homology”. 《Secret Blogging Seminar》 (영어). 
• Melrose, Richard (2013년 1월 27일). “Introduction to microlocal analysis” (PDF) (영어). 
• Thiel, Hannes (2006). “An introduction to Hochschild and cyclic homology” (PDF) (영어). 
• La Rosa Obando, Laura Betzabé (2010년 7월). 《Homología de Hochschild y homología cíclica》 (스페인어). 석사 학위 논문 (지도 교수 Christian Holger Valqui Haase). 리마: Universidad Nacional de Ingeniería. 2018년 5월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 7월 24일에 확인함.