방향 (다양체)

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미분기하학위상수학에서, 다양체방향(方向, 영어: orientation 오리엔테이션[*])은 다양체 위에서 시계방향 및 반시계방향의 개념을 정의하는 구조이다. 향이 주어진 다양체를 유향 다양체(有向多樣體, oriented manifold)라고 한다. 향을 줄 수 있는 다양체를 가향 다양체(可向多樣體, orientable manifold)라고 한다. 예를 들어, 는 방향을 줄 수 있지만, 클라인 병은 방향을 줄 수 없다.

정의[편집]

위상다양체의 방향[편집]

차원 위상다양체라고 하자. 그렇다면 위의 방향은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

  • 모든 점 에 대하여, 상대 호몰로지 의 원소

이는 다음을 만족하여야 한다.

  • 콤팩트 집합으로 이루어진 덮개 상대 호몰로지 원소 가 존재하여, 모든 에 대하여 에 대한 당김 에 대한 이어야 한다.

미분다양체의 방향[편집]

차원 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면 위의 방향은 항상 0이 아닌 미분 형식동치류다. 만약 두 차 형식 , 의 꼴이고, 가 매끄럽고, 항상 0이 아닌 함수라면 로 간주한다.

이 정의는 위상다양체의 방향의 정의와 동등하다.

바깥 고리[편집]