유클리드 기하학

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한 그리스의 수학자가 컴퍼스로 작도를 하고 있는 모습. (라파엘로의 ‘아테네 학당’ 일부)

유클리드 기하학(-幾何學, Euclidean geometry)은 고대 그리스수학자 에우클레이데스가 구축한 수학 체계로 《원론》은 기하학에 관한 최초의 체계적인 논의로 알려져 있다. 유클리드의 방법은 직관적으로 받아들일 수 있는 공리를 참으로 간주한다. 이로부터 연역적으로 명제 (정리)를 이끌어낸다. 유클리드가 이끌어낸 많은 성과는 일찍이 오래전의 수학자들에게 알려져 있었던 것이나,[1] 유클리드는 포괄적인 추론과 논리를 통해 그 명제들이 왜 성립할 수 있는가를 보인 최초의 인물이다.[2] 그의 《원론》은 평면 기하학과 함께 시작되며, 아직도 중등 수학교육에서는 최초의 공리계이자 최초의 정형화된 증명의 예로 가르치고 있다. 이는 3차원에서의 공간 기하학으로 계속해서 이어진다. 현재 대수학정수론으로 불리는 《원론》의 많은 결론들은 기하학적 언어로 표현되어 있다.[3]

유클리드 기하학이 아닌 다른 종류의 기하학은 한 번도 생각된 적이 없었기 때문에 2천년 동안 "유클리드"라는 수식어는 필요하지 않았다. 유클리드의 공리는 어떤 정리도 유도해 낼 수 있을 만큼 직관적으로 매우 명백한 것으로 보였고, 절대적인 의미에서 참으로 간주되었다. 그러나 오늘날에는 자기 모순이 없는 많은 다른 비유클리드 기하학이 알려져 있고, 19세기 초에 그 중 최초가 개발되었다. 유클리드 공간중력장이 거의 작용하지 않는 공간에서만 실제 세계와 잘 들어맞는 근사적인 이론이라는 것이 아인슈타인일반 상대성이론에 함축되어 있다.

유클리드 공준[편집]

  1. 임의의 점과 다른 한 점을 연결하는 직선은 단 하나뿐이다.
  2. 임의의 선분은 양끝으로 얼마든지 연장할 수 있다.
  3. 임의의 점을 중심으로 하고 임의의 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.
  4. 직각은 모두 서로 같다.
  5. 평행선 공준: 두 직선이 한 직선과 만날 때, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 2직각(180˚)보다 작으면 이 두 직선을 연장할 때 2직각보다 작은 내각을 이루는 쪽에서 반드시 만난다.

같이 보기[편집]

각주 및 참고 문헌[편집]

  1. Eves, vol. 1, p. 19
  2. Eves (1963), vol. 1, p. 10
  3. Eves, p. 19
  • Eves, Howard (1963). 《A Survey of Geometry》. Allyn and Bacon.