감마 분포: 두 판 사이의 차이
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'''감마 분포'''는 [[연속 확률분포]]로, 두 개의 매개변수를 받으며 양의 실수를 가질 수 있다. |
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감마 분포는 [[지수 분포]]나 [[푸아송 분포]] 등의 매개변수에 대한 [[켤레 사전 확률]] 분포이며, 이에 따라 [[베이지안 확률론]]에서 [[사전 확률]] 분포로 사용된다. |
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[[매개변수]] <math>k</math>가 정수인 경우 감마 분포는 [[얼랑 분포]]가 된다. |
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== 확률 밀도 함수 == |
== 확률 밀도 함수 == |
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:<math> f(x;k,\theta) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)} |
:<math> f(x;k,\theta) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)} |
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\ \mathrm{for}\ x > 0 \,\!</math> |
\ \mathrm{for}\ x > 0 \,\!</math> |
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여기서 <math>k (> 0)</math>는 모양 매개변수이고, <math> \theta (> 0)</math>는 크기 매개변수이다. |
여기서 <math>k (> 0)</math>는 모양 매개변수이고, <math> \theta (> 0)</math>는 크기 매개변수이다. |
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== 성질 == |
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만약 확률변수 <math>X_1, \cdots, X_n</math>가 독립이며 각각 <math>X_i \sim \mathrm{Gamma}(k_i, \theta)</math>의 분포를 가진다면, 확률변수들의 합은 다음과 같은 분포를 따른다. |
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:<math>\sum_i X_i \sim \mathrm{Gamma}(\sum_i k_i, \theta)</math> |
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<math>X \sim \mathrm{Gamma}(k, \theta)</math>인 확률변수 <math>X</math>에 상수를 곱한 경우는 크기 매개변수에 영향을 준다. |
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:<math>cX \sim \mathrm{Gamma}(k, c \theta)</math> |
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=== 다른 분포와의 관계 === |
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* 모양 매개변수 <math>k</math>가 정수인 경우 [[얼랑 분포]]에 포함된다. |
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* <math>k = 1, \theta = 1/\lambda</math>는 [[지수 분포]]가 된다. |
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* <math>k = \nu/2, \theta = 2</math>는 [[카이제곱 분포]]가 된다. 이 때 자유도는 <math>\nu</math>이다. |
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=== 켤레 사전 확률 === |
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감마 분포는 [[푸아송 분포]], [[지수 분포]], [[정규 분포]](평균을 알고 있을 경우), [[파레토 분포]], 감마 분포(모양 매개변수를 알 경우)와 [[역감마 분포]](모양 매개변수를 알 경우) 등의 분포와 [[켤레 사전 확률]] 분포를 이룬다. |
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A Compendium of Conjugate Priors, Daniel Fink, 1997 |
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감마 분포 <math>X \sim \mathrm{Gamma}(k, \theta)</math>와 켤레 사전 확률 분포를 이루는 분포는 네 개의 매개변수를 가지며, 다음과 같은 식을 갖는다. |
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:<math>p(k,\theta | p, q, r, s) = \frac{1}{Z} \frac{p^{k-1} e^{-\theta^{-1} q}}{\Gamma(k)^r \theta^{k s}}</math> |
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여기에서 <math>Z</math>는 정규화 상수이다. |
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만약 감마 분포 <math>X</math>에서 <math>n</math>개의 관측 <math>x_1, \cdots, x_n \sim X</math>을 얻었다면, 그에 대응하는 <math>p, q, r, s</math>는 다음과 같이 갱신된다. |
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{{토막글|확률론}} |
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:<math>p' = p \cdot \prod_i x_i</math> |
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:<math>q' = q + \sum_i x_i</math> |
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:<math>r' = r + n</math> |
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:<math>s' = s + n</math> |
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[[분류:연속분포]] |
[[분류:연속분포]] |
2012년 5월 4일 (금) 22:13 판
확률 밀도 함수 | |
---|---|
누적 분포 함수 | |
매개변수 | 모양 (실수) 크기 (실수) |
지지집합 | |
확률 밀도 | |
누적 분포 | |
기댓값 | |
최빈값 | for |
분산 | |
비대칭도 | |
첨도 | |
엔트로피 | |
적률생성함수 | |
특성함수 |
감마 분포는 연속 확률분포로, 두 개의 매개변수를 받으며 양의 실수를 가질 수 있다.
감마 분포는 지수 분포나 푸아송 분포 등의 매개변수에 대한 켤레 사전 확률 분포이며, 이에 따라 베이지안 확률론에서 사전 확률 분포로 사용된다.
매개변수 가 정수인 경우 감마 분포는 얼랑 분포가 된다.
확률 밀도 함수
감마 분포의 확률 밀도 함수는 감마 함수를 써서 나타낼 수 있다.
여기서 는 모양 매개변수이고, 는 크기 매개변수이다.
성질
만약 확률변수 가 독립이며 각각 의 분포를 가진다면, 확률변수들의 합은 다음과 같은 분포를 따른다.
인 확률변수 에 상수를 곱한 경우는 크기 매개변수에 영향을 준다.
다른 분포와의 관계
켤레 사전 확률
감마 분포는 푸아송 분포, 지수 분포, 정규 분포(평균을 알고 있을 경우), 파레토 분포, 감마 분포(모양 매개변수를 알 경우)와 역감마 분포(모양 매개변수를 알 경우) 등의 분포와 켤레 사전 확률 분포를 이룬다.