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2011년 12월 18일 (일) 18:19 판
내적의 기하학적 해석
내적공간 (內積空間 inner product space)은 수학 에서 두 벡터를 곱해 스칼라 를 얻는 내적 이라는 이항연산 이 주어진 벡터공간 을 말한다. 벡터공간에 내적이 주어지면 이를 이용해 길이 나 각도 등의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 유클리드 공간 의 스칼라 곱 을 일반화한 것으로 볼 수 있다(주의: 책에 따라 내적과 스칼라 곱을 동의어로 여기기도 한다.). 내적공간의 개념은 함수해석학 에서 중요하게 다루어진다.
정의
(이 글에서 스칼라 들의 체 F 는 실수체 R 혹은 복소수체 C 이다.)
체 F 상의 벡터공간 V에 정부호 비퇴화 정반선형 형식 <·,·>이 주어지면 이 공간을 내적공간 이라 하고, <·,·>를 내적 이라 한다. 이는 실벡터공간에 대해서는 정부호 비퇴화 대칭 겹선형형식 이 된다. 위의 내적의 정의를 보다 기초적인 용어들로 아래와 같이 풀어쓸 수 있다.
내적이란 함수
⟨
⋅
,
⋅
⟩
:
V
×
V
→
F
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbb {F} }
로서, 임의의 V의 원소 x,y,z와 F의 원소 a,b에 대해 다음의 조건들을 만족하는 것이다:
⟨
x
,
y
⟩
=
⟨
y
,
x
⟩
¯
.
{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.}
이 조건에 따라
⟨
x
,
x
⟩
∈
R
{\displaystyle \langle x,x\rangle \in \mathbb {R} }
가 성립하는데, 이는
⟨
x
,
x
⟩
=
⟨
x
,
x
⟩
¯
{\displaystyle \langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}}
이기 때문이다.
⟨
a
x
,
y
⟩
=
a
⟨
x
,
y
⟩
.
{\displaystyle \langle ax,y\rangle =a\langle x,y\rangle .}
⟨
x
+
y
,
z
⟩
=
⟨
x
,
z
⟩
+
⟨
y
,
z
⟩
.
{\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle .}
이 조건을 위의 켤레 대칭성 조건과 함께 이용해서 다음을 얻을 수 있다:
⟨
x
,
b
y
⟩
=
b
¯
⟨
x
,
y
⟩
.
{\displaystyle \langle x,by\rangle ={\overline {b}}\langle x,y\rangle .}
⟨
x
,
y
+
z
⟩
=
⟨
x
,
y
⟩
+
⟨
x
,
z
⟩
.
{\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle .}
따라서
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
는 정반선형 형식이 된다.
⟨
x
,
x
⟩
≥
0.
{\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0.}
(이는 V의 임의의 원소 x에 대해
⟨
x
,
x
⟩
∈
R
{\displaystyle \langle x,x\rangle \in \mathbb {R} }
이기에 의미를 갖는다.)
⟨
x
,
x
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x,x\rangle =0}
이면
x
=
0.
{\displaystyle x=0.}
함께 보기