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코시 적분 정리: 두 판 사이의 차이

112 바이트 제거됨 ,  12년 전
수식 정리
(수식 정리)
=== 증명 ===
<math>f(z)</math> 는 <math>z=z_{0}</math> 에서 [[연속]]이므로 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여 <math>|f(z)-f(z_{0})|<\epsilon</math> 이면 <math>|z-z_{0}|<\delta</math> 을 만족하는 <math>\delta>0</math> 가 존재한다.
 
이제 <math>0<r<\delta</math> 인 r에 대해 반시계방향 원 <math>C_{0}:|z-z_{0}|=r</math> 이 <math>C</math> 에 포함되도록 작게 그린다. 그러면 코시의 적분정리에 의해
<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz</math> 이다. 양변을 <math>f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz</math> 로 빼면
 
:<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz</math> 이 되고 그런데 <math>\oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=2\pi i </math> 이므로 <math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz</math> 이다. 또 그런데
 
양변을
:<math>f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz</math> 로 빼면
 
:<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz</math> 이다. 양변을 <math>-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz</math> 로 빼면이고
 
:<math>\oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=2\pi i </math> 이므로 <math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz</math> 이다.
 
:<math>|\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz|<\frac{\epsilon}{r}2\pi r=2\pi \epsilon </math> 이다. <math>\epsilon>0</math> 이므로 <math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=0</math> 이므로 <math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=2\pi i f(z_{0})</math> 이다.
:<math>\epsilon>0</math> 이므로
:<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=0</math>
 
=== 일반화 ===

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