|
|
13번째 줄: |
13번째 줄: |
|
특히 복소해석학을 이용하면 여러 방법으로 증명할 수 있다. 아래에서는 이 중 하나를 소개하도록 한다. |
|
특히 복소해석학을 이용하면 여러 방법으로 증명할 수 있다. 아래에서는 이 중 하나를 소개하도록 한다. |
|
|
|
|
|
===증명===
|
|
==증명== |
|
---- |
|
|
|
|
|
|
복소 다항식 |
|
복소 다항식 |
38번째 줄: |
37번째 줄: |
|
을 얻는다. 즉, <math> \frac{1}{p(z)}</math> 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 [[리우빌의 정리 (복소해석학)|리우빌의 정리]]에 의해 <math>\frac 1 {p(z)}</math>는 상수함수이다. 그러나 가정에서 <math> {p(z)}</math>는 상수가 아니라고 하였으므로 <math>\frac 1 {p(z)}</math> 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 <math> {p(z)}</math> 는 적어도 하나의 영점을 갖는다. |
|
을 얻는다. 즉, <math> \frac{1}{p(z)}</math> 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 [[리우빌의 정리 (복소해석학)|리우빌의 정리]]에 의해 <math>\frac 1 {p(z)}</math>는 상수함수이다. 그러나 가정에서 <math> {p(z)}</math>는 상수가 아니라고 하였으므로 <math>\frac 1 {p(z)}</math> 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 <math> {p(z)}</math> 는 적어도 하나의 영점을 갖는다. |
|
|
|
|
|
===따름정리===
|
|
==따름정리== |
|
---- |
|
|
|
|
|
대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 '''따름정리'''를 얻을 수 있다. 이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다. |
|
대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 '''따름정리'''를 얻을 수 있다. 이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다. |
|
|
|
|
55번째 줄: |
52번째 줄: |
|
|
|
|
|
'''(따름정리의 증명)''' 대수학의 기본 정리에 의해 <math> p(z_1)= 0</math> 인 점 <math> z_1</math>이 존재하므로 |
|
'''(따름정리의 증명)''' 대수학의 기본 정리에 의해 <math> p(z_1)= 0</math> 인 점 <math> z_1</math>이 존재하므로 |
|
|
|
|
:<math> p(z)=a_n(z-z_1)p_1(z)</math> |
|
:<math> p(z)=a_n(z-z_1)p_1(z)</math> |
|
|
|
|
|
와 같이 쓸 수 있다. 그런데 <math> p_1(z)</math> 은 <math> (n-1) </math> 차의 다항식이므로, 다항식의 차수에 대한 귀납법을 사용하면(대수학의 기본 정리 이용) 증명이 끝난다. |
|
와 같이 쓸 수 있다. 그런데 <math> p_1(z)</math> 은 <math> (n-1) </math> 차의 다항식이므로, 다항식의 차수에 대한 귀납법을 사용하면(대수학의 기본 정리 이용) 증명이 끝난다. |
|
|
|
|
|
===실계수 다항식의 경우===
|
|
==실계수 다항식의 경우== |
|
⚫ |
'''실계수 <math>n \,</math>차 다항식'''의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 고려할 경우 <math>n \,</math>개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 곱하는 순서를 고려하지 않을 경우 유일하므로, 만약 허수부가 0이 아닌 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 <math>n \,</math>개의 근을 갖지 안을 수도 있다. |
|
---- |
|
|
|
|
|
|
⚫ |
실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 <math>2</math> 이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 <math>a + bi\,</math>가 실계수 다항식의 근이면 이의 [[복소켤레]] <math>a - bi\,</math>도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 그러므로 두 개의 복소계수 일차식의 곱은 |
⚫ |
'''실계수 <math>n</math> 차 다항식'''의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 포함하여 <math>n</math> 개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 유일하므로, 만약 허수부가 존재하는 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 <math>n</math> 개의 근을 갖지 않는다. |
|
|
|
|
⚫ |
실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 <math>2</math> 이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 실계수 다항식의 복소근은 항상 켤레로 존재하는 성질 때문이다. 그러므로 , 이 때, 두 개의 복소계수 일차식은, |
|
|
:<math>(x - (a + bi))(x - (a - bi)) = ((x - a) - bi)((x - a) + bi) = ((x - a)^2 + b^2)</math> |
|
:<math>(x - (a + bi))(x - (a - bi)) = ((x - a) - bi)((x - a) + bi) = ((x - a)^2 + b^2)</math> |
|
와 같이 되어(<math>a, b</math>는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다. |
|
와 같이 (<math>a, b</math>는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다. |
|
|
|
|
|
'''(실계수 다항식의 근의 켤레성)''' |
|
|
만일<math>z_0\,</math>가 실계수 다항식 |
|
|
:<math> p(z)=a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1 z +a_0\,\,\,a_j \in \mathbb{R},\,\,n\ge 1,\,\,a_n\neq 0</math> |
|
|
의 복소수 근이면 즉, <math> p(z_0)=0\,</math>이면 <math> p(\overline{z_0})=0\,</math>이다. |
|
|
|
|
|
(증명) |
|
|
:<math> p(\overline{z_0})=a_n \overline{z_0}^n + a_{n-1}\overline{z_0}^{n-1}+\cdots+a_1 \overline{z_0} +a_0 </math> |
|
|
|
|
|
::<math> =\overline{a_n z_0^n} +\overline{ a_{n-1}z_0^{n-1}}+\cdots+\overline{a_1 z_0} +\overline{a_0} </math> |
|
|
|
|
|
::<math> =\overline{a_n z_0^n + a_{n-1}z_0^{n-1}+\cdots+a_1 z_0 +a_0} </math> |
|
|
|
|
|
::<math> = \overline{p(z_0)} =0 </math> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
이 켤레성은, 실계수 다항식은 허수부가 없으므로 복소켤레를 취해도 같은 꼴이 나옴을 이용하여, 실계수 다항식을 복소수체 위에서 <math>n</math> 개의 기약다항식의 곱으로 전개하고 복소켤레를 취한 후 복소켤레의 곱 성질을 이용하면 즉시 증명된다. |
|
|
|
|
|
|
[[분류:추상대수학]] |
|
[[분류:추상대수학]] |
대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理 ; fundamental theorem of algebra)란 상수가 아닌 복소계수 다항식은 적어도 하나의 영점을 갖는다는 정리이다.
즉, 복소계수 다항식
에 대해 인 복소수 가 적어도 하나는 존재한다는 것이다.
이 정리는 복소수체가 실수체와는 달리 대수적으로 닫혀 있음을 뜻한다.
수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라는 예상이었다. 달랑베르(d'Alembert)와 오일러 등이 증명을 시도하였으나 모두 불완전하였고, 최초로 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 가우스(Carl Friedrich Gauss)였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 가우스는 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 현재까지 순수하게 대수적인 증명은 아무도 발견하지 못했으며, 약간의 해석학 또는 위상수학을 도입해야 증명할 수 있다.
특히 복소해석학을 이용하면 여러 방법으로 증명할 수 있다. 아래에서는 이 중 하나를 소개하도록 한다.
증명
복소 다항식
가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 에 대해 라고 가정하자. 그러면 는 전해석함수이다. 이제 삼각부등식을 이용하여
를 얻고, 라 하면, 양수 에 대해 이면
이다. 여기서 을 충분히 큰 값으로 선택하여 가 되도록 하면 부등식
이 성립하므로 식 (a)로부터
을 얻는다. 즉, 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 리우빌의 정리에 의해 는 상수함수이다. 그러나 가정에서 는 상수가 아니라고 하였으므로 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 는 적어도 하나의 영점을 갖는다.
따름정리
대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 따름정리를 얻을 수 있다. 이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다.
(따름정리) 모든 차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 개의 근을 갖는다.
따름정리는 다음과 같이 기술할 수 있다. 복소 다항식
에 대해 (서로 다를 필요는 없는) 복소수 이 존재하여
와 같이 쓸 수 있다.
(따름정리의 증명) 대수학의 기본 정리에 의해 인 점 이 존재하므로
와 같이 쓸 수 있다. 그런데 은 차의 다항식이므로, 다항식의 차수에 대한 귀납법을 사용하면(대수학의 기본 정리 이용) 증명이 끝난다.
실계수 다항식의 경우
실계수 차 다항식의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 고려할 경우 개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 곱하는 순서를 고려하지 않을 경우 유일하므로, 만약 허수부가 0이 아닌 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 개의 근을 갖지 안을 수도 있다.
실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 가 실계수 다항식의 근이면 이의 복소켤레 도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 그러므로 두 개의 복소계수 일차식의 곱은
와 같이 (는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다.
(실계수 다항식의 근의 켤레성)
만일가 실계수 다항식
의 복소수 근이면 즉, 이면 이다.
(증명)