중복집합: 두 판 사이의 차이
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'''중복집합'''은 다음과 같은 데이터로 구성되는 [[순서쌍]] <math>(M,\ |
'''중복집합'''은 다음과 같은 데이터로 구성되는 [[순서쌍]] <math>(M,\mu_M)</math>이다. |
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* [[집합]] <math>M</math>. 그 원소를 중복집합의 '''원소'''라고 한다. |
* [[집합]] <math>M</math>. 그 원소를 중복집합의 '''원소'''라고 한다. |
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* [[기수 (수학)|기수]] 값 모임 [[함수]] <math>\ |
* [[기수 (수학)|기수]] 값 모임 [[함수]] <math>\mu_M\colon M\to\operatorname{Card}\setminus\{0\}</math>. 각 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>\mu_M(m)</math>을 <math>m</math>의 '''중복도'''라고 한다. (<math>M</math>에 속하지 않는 원소의 중복도는 0이라고 가정한다.) |
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중복집합 <math>M</math>의 '''크기'''는 모든 원소의 중복도의 합이다. |
중복집합 <math>M</math>의 '''크기'''는 모든 원소의 중복도의 합이다. |
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:<math>|M|=\sum_{m\in M}\ |
:<math>|M|=\sum_{m\in M}\mu_M(m)</math> |
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여기서 우변은 [[기수 (수학)|기수]]의 덧셈이다. |
여기서 우변은 [[기수 (수학)|기수]]의 덧셈이다. |
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== 연산 == |
== 연산 == |
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집합의 연산은 중복집합으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 예를 들어, 두 중복집합 <math>(M,\ |
집합의 연산은 중복집합으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 예를 들어, 두 중복집합 <math>(M,\mu_M)</math>, <math>(M',\mu_{M'})</math>의 합집합 <math>M\cup M'</math>과 교집합 <math>M\cap M'</math>은 다음과 같다. |
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:<math>\mu_{M\cup M'}=\max\{\mu,\mu'\}</math> |
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:<math>\mu_{M\cap M'}=\min\{\mu,\mu'\}</math> |
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== 예 == |
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2021년 9월 16일 (목) 11:42 판
수학에서, 중복집합(重複集合, 영어: multiset) 또는 다중집합(多重集合)은 각 원소를 어떤 기수만큼 중복하는 것을 허용하여 집합을 일반화한 개념이다. 중복집합의 원소가 중복된 횟수를 나타내는 기수를 중복도(重複度, 영어: multiplicity)라고 한다. 집합은 각 원소의 중복도가 1인 중복집합으로 여길 수 있다. 집합의 연산들을 중복집합에 자연스럽게 확장할 수 있다.
정의
중복집합은 다음과 같은 데이터로 구성되는 순서쌍 이다.
중복집합 의 크기는 모든 원소의 중복도의 합이다.
여기서 우변은 기수의 덧셈이다.
연산
집합의 연산은 중복집합으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 예를 들어, 두 중복집합 , 의 합집합 과 교집합 은 다음과 같다.
예
중복집합
는 흔히
로 표기한다. 그 크기는 3+2+4=9이다.
외부 링크
- “Multiset”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Multiset”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Multichoose”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Multiset”. 《nLab》 (영어).
- “MultiSet”. 《nLab》 (영어).
- “Inner product of multisets”. 《nLab》 (영어).
- “Multiset”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Definition:Multiset”. 《ProofWiki》 (영어).
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