점근 밀도: 두 판 사이의 차이
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* 임의의 [[유한 집합]] <math>F</math>에 대해서 <math>d(F)=0</math>이다. |
* 임의의 [[유한 집합]] <math>F</math>에 대해서 <math>d(F)=0</math>이다. |
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* 완전 제곱수의 점근 밀도는 영이다. |
* 완전 제곱수의 점근 밀도는 영이다. |
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* 짝수 집합의 점근밀도는 1/ |
* 짝수 집합의 점근밀도는 1/2이다. 마찬가지로 임의의 [[등차수열]] <math>A = \{an+b | n \in \mathbb{N}\}</math>에 대해, <math>d(A)=1/a</math>임을 알 수 있다. |
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* 소수 집합 <math>P</math>는 [[소수 정리]]에 의해 <math>d(P)=0</math>임을 알 수 있다. |
* 소수 집합 <math>P</math>는 [[소수 정리]]에 의해 <math>d(P)=0</math>임을 알 수 있다. |
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* 제곱수로 나누어지지 않는 수([[:en:Square-free integer|Square-free integer]])의 점근밀도는 <math>\textstyle \frac{6}{\pi^2}</math>이다. |
* 제곱수로 나누어지지 않는 수([[:en:Square-free integer|Square-free integer]])의 점근밀도는 <math>\textstyle \frac{6}{\pi^2}</math>이다. |
2020년 5월 1일 (금) 08:46 판
정수론에서 점근 밀도(Asymptotic Density 또는 Natural density 또는 arithmetic density)란, 자연수의 부분집합이 얼마나 큰지를 측정하는 척도이다.
직관적으로 완전 제곱수보다는 자연수가 "더 많다". 두 집합은 물론 일대일 대응을 통해 무한하고 가산임을 확인할 수 있으므로 실제로 더 큰 것은 아니다. 그러나 이러한 직관적 관찰을 좀 엄밀히 만들 필요가 있다.
정의
자연수의 부분집합 가 주어져 있을 때, 의 원소 중, 이하의 값들의 개수를 라고 하면, 이 무한대로 갈 때, 극한값
이 존재하면 점근밀도 를 갖는다고 말한다.
위쪽 및 아래쪽의 점근 밀도
위에서 쓰인 기호를 토대로 위쪽 점근 밀도(upper asymptotic density)를 다음과 같이 정의할 수 있다.
이때 lim sup은 상극한(limit superior)이다.
마찬가지로 아래쪽 점근 밀도(lower asymptotic density)를 다음과 같이 정의할 수 있다.
만약 이 두 극한이 일치한다면, 즉 이라면, 이 값을 점근 밀도 라고 부를 수 있다.