방접원

삼각형과 방접원

기하학에서, 방접원(傍接圓, 영어: excircle)은 삼각형의 한 변에 접하고 남은 두 변의 연장선에 접하는 원이다.

정의

삼각형 $ABC$의 변 $BC$에 접하고 남은 두 변 $AC$, $AB$의 연장선에 접하는 원은 유일하게 존재한다. 이 원을 꼭짓점 $A$에 대한 삼각형 $ABC$의 방접원이라고 한다. 이 원의 중심 $J_{A}$는 $\angle A$의 내각의 이등분선과 $\angle B$, $\angle C$의 외각의 이등분선의 교점이며, 이를 꼭짓점 $A$에 대한 삼각형 $ABC$의 방심(傍心, 영어: excenter)이라고 한다. 마찬가지로 꼭짓점 $B$, $C$에 대한 방접원과 방심 $J_{B}$, $J_{C}$를 정의할 수 있다.

방심 삼각형

삼각형 $ABC$의 세 방심 $J_{A}$, $J_{B}$, $J_{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $J_{A}J_{B}J_{C}$를 원래 삼각형 $ABC$의 방심 삼각형(傍心三角形, 영어: excenter triangle)이라고 한다. 방심 삼각형의 외접원을 베번 원(Bevan圓, 영어: Bevan circle)이라고 하고, 이 원의 중심 $V$를 베번 점(Bevan點, 영어: Bevan point)이라고 한다.

성질

방심과 삼각형의 세 변의 직선 사이의 거리는 같다. 이는 이 방심을 중심으로 하는 방접원의 반지름이다.

모든 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다.^{:28, §3.2} 모든 삼각형의 외심은 내심과 베번 점의 중점이다.^{:29, §3.2} 모든 삼각형의 슈피커 중심은 수심과 베번 점의 중점이다.^{:27, §3.2} 삼각형의 한 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 중점, 대변 위 방접원의 접점, 내심은 공선점이다.^{:30, §3.3} 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라고 하고, 내접원과 두 변 $AC$, $BC$ 사이의 접점을 각각 $I_{B}$, $I_{C}$라고 하고, $AI$와 $I_{B}I_{C}$의 교점을 $P$라고 할 경우, $BP$는 $AI$의 수선이다.^{:31, §3.4}

모든 삼각형은 자기 자신의 방심 삼각형의 수족 삼각형이다.

포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 구점원은 이 삼각형의 세 방접원과 외접하고 내접원과 내접한다.

계량적 성질

삼각형 $ABC$의 변 $BC$, $AC$, $AB$의 길이를 $a$, $b$, $c$라고 하고, 반둘레를 $s$라고 하고, 넓이를 $S$라고 하자. 또한 내접원의 반지름을 $r$라고 하고, 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에 대한 방접원의 반지름을 $r_{A}$, $r_{B}$, $r_{C}$라고 하자. 그렇다면

$S=r_{A}(s-a)=r_{B}(s-b)=r_{C}(s-c)$

이다.^{:13, §1.4, Exercise 5} 특히,

${\frac {1}{r_{A}}}+{\frac {1}{r_{B}}}+{\frac {1}{r_{C}}}={\frac {1}{r}}$

와^{:80, §2F, Theorem 2.34}

$S={\sqrt {rr_{A}r_{B}r_{C}}}$

가 성립한다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Excircles”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Excenter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Exradius”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Excentral triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.