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코시 적분 정리: 두 판 사이의 차이

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[[복소해석학]]에서, '''코시 적분 정리'''(-積分定理, {{llang|en|Cauchy's integral theorem}})는 [[단일 연결 공간|단일 연결]] [[영역 (수학)|영역]] 위의 [[정칙 함수]]의 [[경로 적분]]이 경로와 무관하다는 정리이다.
'''코시의 적분정리'''(Cauchy's integral theorem)은 [[복소선적분]]에서 중요한 정리 중 하나이다.
복소함수의 선적분은 양 끝점에만 좌우되는 것이 아니라, 경로 자체의 선택에도 의존한다. 만약 복소함수가 영역 D에서 해석적이고 D가 단순 연결 되었다면, 주어진 점들 사이의 경로선택에 의존하지 않는다. 이로써 복소선적분의 경로의존성으로부터 벗어날 수 있다.
 
== 설명정의 ==
[[유계 집합|유계]] [[영역 (수학)|영역]] <math>D\subseteq\mathbb C</math>의 [[경계 (위상수학)|경계]] <math>\partial D</math>가 유한 개의 조각마다 매끄러운 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, [[연속 함수]] <math>f\colon\operatorname{cl}D\to\mathbb C</math>가 <math>D</math>에서 [[정칙 함수]]라고 하자. '''코시 적분 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="tanxj">{{서적 인용
<math>f\left( z \right)</math>가 단순연결영역 D에서 해석적이면, D에 있는 모든 단순 닫힌 곡선 <math>C</math>에 대하여
|저자1=谭小江
:<math>\oint\limits_{C}{f\left( z \right)}dz=0</math>
|저자2=伍胜健
|제목=复变函数简明教程
|언어=zh
|총서=北京大学数学教学系列丛书
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2006-02
|isbn=978-7-301-08530-1
}}</ref>{{rp|84}}
:<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz=0</math>
 
이에 따라, [[단일 연결 공간|단일 연결]] 영역 <math>D\subseteq\mathbb C</math> 위의 정칙 함수 <math>f\colon D\to\mathbb C</math>의, 임의의 두 점 <math>z',z''\in D</math> 사이의 [[경로 적분]]
이다.
:<math>\int_{z'}^{z''}f(z)\mathrm dz</math>
는 경로
:<math>\gamma\colon[a,b]\to D\qquad(\gamma(a)=z',\;\gamma(b)=z'')</math>
의 선택에 의존하지 않는다.
 
== 코시의 적분공식증명 ==
우선, <math>D</math>가 [[삼각형]] 영역인 경우를 보이자.<ref name="tanxj" />{{rp|85-87}}
=== 설명 ===
 
단순연결영역 <math>D</math>의 에서 해석적인 함수 <math>f(z)</math>와 점 <math>z_{0}</math> 와 이를 둘러싸고 있는 닫힌 곡선 <math>C</math> 에 대해
<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=2\pi if\left(z_{0} \right)</math> 이라는 정리이다. 이는 <math>\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z \right)}{z-z_{0}}}dz=f\left(z_{0} \right)</math> 이라고 표현하기도 한다.
 
=== 증명 ===
<math>f(z)</math> 는 <math>z=z_{0}</math> 에서 [[연속]]이므로 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여 <math>|z-z_{0}|<\delta</math> 이면 <math>|f(z)-f(z_{0})|<\epsilon</math> 을 만족하는 <math>\delta>0</math> 가 존재한다.
 
이제 <math>0<r<\delta</math> 인 r에 대해 반시계방향 원 <math>C_{0}:|z-z_{0}|=r</math> 이 <math>C</math> 에 포함되도록 작게 그린다. 그러면 코시의 적분정리에 의해
 
:<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz</math>
 
[[귀류법]]을 사용하여,
:<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\ne 0</math>
이라고 가정하자. <math>D_0=D</math>라고 하고, 삼각형 영역 <math>D</math>의 세 변의 중점을 이어 얻는 4개의 작은 삼각형 영역 <math>D_{0,1},D_{0,2},D_{0,3},D_{0,4}</math>를 생각하자. 그렇다면,
:<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz
=\int_{\partial D_{0,1}}f(z)\mathrm dz
+\int_{\partial D_{0,2}}f(z)\mathrm dz
+\int_{\partial D_{0,3}}f(z)\mathrm dz
+\int_{\partial D_{0,4}}f(z)\mathrm dz</math>
이므로,
:<math>\left|\int_{\partial D_1}f(z)\mathrm dz\right|\ge\frac 14\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|</math>
인 <math>D_1\in\{D_{0,1},D_{0,2},D_{0,3},D_{0,4}\}</math>가 존재한다. 이와 같이 반복하면, 다음을 만족시키는 삼각형 영역의 열 <math>(D_n)_{n=0}^\infty</math>을 얻는다.
* <math>D_n\subseteq D_{n-1}</math>
* <math>\operatorname{diam}D_n=\frac 1{2^n}\operatorname{diam}D</math>
* <math>\left|\int_{\partial D_n}f(z)\mathrm dz\right|\ge\frac 1{4^n}\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|\qquad(n\in\{1,2,\dots\})</math>
따라서,
:<math>\bigcap_{n=0}^\infty D_n=\{a\}</math>
인 <math>a\in\mathbb C</math>가 존재하며, 임의의 <math>n\in\{0,1,\dots\}</math>에 대하여,
:<math>
\begin{align}
0<\frac 1{4^n}\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|\le\left|\int_{\partial D_n}f(z)\mathrm dz\right|
&=\left|\int_{\partial D_n}(f(z)-f(a)-f'(a)(z-a))\mathrm dz\right|\\
&\le\max_{z\in\partial D_n}\left|\frac{f(z)-f(a)}{z-a}-f'(a)\right|\cdot\operatorname{diam}D_n\cdot\int_{\partial D_n}|\mathrm dz|\\
&=\frac 1{4^n}\max_{z\in\partial D_n}\left|\frac{f(z)-f(a)}{z-a}-f'(a)\right|\cdot\operatorname{diam}D\cdot\int_{\partial D}|\mathrm dz|
\end{align}</math>
이다.
:<math>\lim_{n\to\infty}\max_{z\in\partial D_n}\left|\frac{f(z)-f(a)}{z-a}-f'(a)\right|=0</math>
이므로, 이는 모순이다.
 
이제, 일반적인 경우를 보이자. <math>D</math>는 유한 개의 단일 연결 영역의 합집합으로 분할되므로, 편의상 <math>D</math>가 단일 연결 영역이라고 가정하자.
양변을
:<math>f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz</math> 로 빼면
 
:<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz</math>
 
이고
 
:<math>\oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=2\pi i </math> 이므로 <math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz</math>
 
이다. 또
 
:<math>\left|\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz\right|<\frac{\epsilon}{r}2\pi r=2\pi \epsilon </math>
 
임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>f</math>는 [[균등 연속 함수]]이므로, 다음을 만족시키는 다각형 영역 <math>\tilde D\subseteq D</math>가 존재한다.
* <math>\operatorname{cl}\tilde D\subseteq D</math>
* <math>\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz-\int_{\partial\tilde D}f(z)\mathrm dz\right|<\epsilon</math>
다각형 영역 <math>D</math>는 유한 개의 삼각형 영역의 합집합으로 분할되므로,
:<math>\int_{\partial\tilde D}f(z)\mathrm dz=0</math>
이며, 따라서
:<math>\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|<\epsilon</math>
이다.
:<math>\epsilon>0</math>
 
== 각주 ==
이므로
{{각주}}
:<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=0</math>
 
=== 일반화외부 링크 ===
* {{eom|title=Cauchy integral theorem}}
 
* {{매스월드|id=CauchyIntegralTheorem|title=Cauchy integral theorem}}
코시 적분공식의 일반화는 다음과 같다.
 
<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)} (z_{0})</math> (여기에서 <math>f^{(n)}</math> 은 f의 n계도함수)
 
다음을 이용하면 임의의 함수가 <math>z_0</math> 에서 해석적이면 그 n계도함수도 <math>z_0</math> 에서 해석적임을 증명할 수 있다. 이는 어떤 복소함수가 미분 가능하면 무한번 미분가능함을 알려주고 이는 복소함수의 중요한 성질이다.
 
=== 예 ===
 
<math>f(z)=e^z</math> 를 미분하면 <math>\frac{df(z)}{dz}=e^z</math> 가 되고 모든 점에서 해석적이므로 <math> z=0 </math> 을 둘러싸고 있는 닫힌 곡선 C에 대해서
:<math>\oint\limits_{C}{\frac{e^z}{z}}dz=2\pi i e^0=2\pi i</math>
이다.
 
[[분류:해석학 정리]]
[[분류:복소해석학]]
[[분류:복소해석학 정리]]