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"순환군"의 두 판 사이의 차이

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(→‎항등식: 오작동)
:<math>\operatorname{ord}(gh)=\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h</math>
 
{{증명 시작}}
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
* <math>\operatorname{ord}(gh)\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h</math>
* <math>\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}(gh)</math>
** 증명: <math>1=(gh)^{\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)}=h^{\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)}</math>이므로, <math>\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)</math>이므로, <math>\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}(gh)</math>이다. 비슷하게, <math>\operatorname{ord}g\mid\operatorname{ord}h\operatorname{ord}(gh)</math>이다. 따라서, <math>\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}(gh)</math>이다.
{{증명: 끝}}
{{증명 시작}}{\displaystyle \operatorname {ord} (gh)\mid \operatorname {ord} g\operatorname {ord} h}
 
증명:
{\displaystyle (gh)^{\operatorname {ord} (gh)}=(g^{\operatorname {ord} g})^{\operatorname {ord} h}(h^{\operatorname {ord} h})^{\operatorname {ord} g}=1^{\operatorname {ord} h}1^{\operatorname {ord} g}=1}
{\displaystyle \operatorname {ord} g\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)}
증명:
{\displaystyle 1=(gh)^{\operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)}=h^{\operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)}}
이므로,
{\displaystyle \operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)}
이므로,
{\displaystyle \operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)}
이다. 비슷하게,
{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid \operatorname {ord} h\operatorname {ord} (gh)}
이다. 따라서,
{\displaystyle \operatorname {ord} g\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)}
이다.
반대로, 군의 원소 <math>x\in G</math>의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.
:<math>\operatorname{ord}x=mn\qquad(\gcd\{m,n\}=1)</math>
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