본문으로 이동

"음함수 정리"의 두 판 사이의 차이

131 바이트 제거됨 ,  2년 전
편집 요약 없음
잔글
* 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta_3)</math>에 대하여, <math>f(\mathbf x,g(\mathbf x')-\epsilon)<0<f(\mathbf x,g(\mathbf x')+\epsilon)</math>
따라서, 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta)</math>에 대하여, <math>g(\mathbf x)\in\operatorname B(g(\mathbf x'),\epsilon)</math>이다. 이제 <math>g</math>의 유일성을 증명하자. 연속 함수 <math>h\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R</math>가 다음을 만족시킨다고 가정하자.
* <math>h(\operatorname B(\mathbf a,\delta_2))\subseteq V</math>
* <math>b=h(\mathbf a)</math>
* 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>f(\mathbf x,h(\mathbf x))=0</math>
그렇다면, 다음과 같은 집합이 <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>의 [[열린닫힌집합]]임을 보이는 것으로 족하다.
* <math>\operatorname B(\mathbf x',\delta_4)\subseteq\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>
* 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta_4)</math>에 대하여, <math>h(\mathbf x)\in\operatorname B(b,\delta_1)</math>
 
따라서, 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta_4)</math>에 대하여, <math>h(\mathbf x)=g(\mathbf x)</math>이다. 즉, <math>A</math>는 <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>의 열린집합이다. 또한 임의의 <math>\mathbf x'\in A'\cap\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>g,h</math>의 연속성에 의하여 <math>\mathbf x'\in A</math>이다. 즉, <math>A</math>는 <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>의 닫힌집합이다. <math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>는 [[연결 집합]]이며, 또한 <math>A\ne\varnothing</math>이므로, <math>A=\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>이다. 즉, 임의의 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, <math>g(\mathbf x)=h(\mathbf x)</math>이다. 이제 <math>f</math>가 <math>\mathcal C^k</math> 함수일 때 <math>g</math>의 <math>\mathcal C^k</math>성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 <math>j\in\{1,\dots,n\}</math> 및 <math>\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, 다음과 같이 표기하자.
 
:<math>\Delta y(\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)=g(\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)-g(\mathbf x')</math>
그러면 [[평균값 정리]]에 따라 다음을 만족시키는 <math>0<\theta(\mathbf x',\mathbf x'+\Delta x_j\mathbf e_j)<1</math>가 존재한다.
(\partial f/\partial y)(\mathbf x',g(\mathbf x'))}
\end{align}</math>
 
또한 <math>(\partial f/\partial x_j)(\mathbf x',g(\mathbf x'))</math>와 <math>(\partial f/\partial y)(\mathbf x',g(\mathbf x'))</math>가 연속 함수이므로, <math>g</math>는 연속 미분 가능 함수이다.
 
==== m>1 ====
이제 <math>m>1</math>일 경우를 증명하자. <math>V</math>의 원소를 <math>\mathbf y=(y_1,\tilde\mathbf y)</math>로 쓰고, <math>\mathbf f=(f_1,\tilde\mathbf f)</math>와 같이 표기하자. 또한 편의상 <math>\det(\mathrm D_{\tilde\mathbf y}\tilde\mathbf f\!(\mathbf a,\mathbf b))\ne 0</math>이라고 가정하자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 <math>\tilde\mathbf g\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1)\to\mathbb R^{m-1}</math>가 존재하게 되는 <math>\delta_1>0</math>가 존재한다.
 
*<math>\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\subseteq U</math>
*<math>\operatorname B(b_1,\delta_1)\times\tilde\mathbf g(\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1))\subseteq V</math>
:<math>f_i(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=f_i(\mathbf x,g_1(\mathbf x),\tilde\mathbf g(\mathbf x,g_1(\mathbf x)))=0\qquad\forall\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2),\;i\in\{2,\dots,m\}</math>
:<math>\mathbf g(\mathbf a)=(g_1(\mathbf a),\tilde\mathbf g(\mathbf a,b_1))=\mathbf b</math>
 
이러한 <math>\mathbf g</math>의 유일성은 <math>m=1</math>의 경우와 똑같은 방법으로 보일 수 있다. 만약 <math>\mathbf f</math>가 <math>\mathcal C^k</math> 함수라면, 각 <math>i\in\{1,\dots,m\}</math> 및 <math>j\in\{1,\dots,n\}</math>에 대하여, <math>f_i(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=0</math>의 양변에 <math>\partial/\partial x_j</math>를 취하면, [[연쇄 법칙]]에 따라 다음을 얻는다.
 
:<math>\frac{\partial f_i}{\partial x_j}+\sum_{k=1}^m\frac{\partial f_i}{\partial y_k}\frac{\partial g_k}{\partial y_j}=0</math>
 
이를 행렬로 표기하면 <math>\mathrm D\mathbf g</math>의 공식을 얻으며, 따라서 <math>\mathbf g</math> 역시 <math>\mathcal C^k</math> 함수이다.
 
즉, 다음이 성립한다.
:<math>\Vert\mathbf g(\mathbf x'+\Delta\mathbf x)-\mathbf g(\mathbf x')\Vert\le\frac{c'}{1-c}\Vert\Delta\mathbf x\Vert</math>
 
따라서 <math>\mathbf g</math>는 연속 함수가 맞다. <math>\mathbf g</math>의 유일성은 고정점의 유일성에 따라 성립한다. 이제 <math>\mathbf f</math>가 <math>\mathcal C^k</math> 함수일 때 <math>\mathbf g</math>의 <math>\mathcal C^k</math>성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 <math>\mathbf x',\mathbf x'+\Delta\mathbf x\in\bar\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)</math>에 대하여, 다음과 같이 표기하자.
 
:<math>\Delta\mathbf y(\mathbf x',\mathbf x'+\Delta\mathbf x)=\mathbf g(\mathbf x+\Delta\mathbf x)-\mathbf g(\mathbf x)</math>
 
그러면 다음이 성립한다.
 
:<math>\begin{align}\Vert\Delta\mathbf y+
(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x')))^{-1}
&=o(\Vert\Delta\mathbf x\Vert)\qquad(\Delta\mathbf x\to\mathbf 0)
\end{align}</math>
 
마지막 등호는 <math>\Vert\Delta\mathbf y\Vert\le(c'/(1-c))\Vert\Delta\mathbf x\Vert</math> 때문이다. 즉,
 
:<math>\mathrm D\mathbf g(\mathbf x')=-(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x')))^{-1}
\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf f(\mathbf x',\mathbf g(\mathbf x'))</math>
 
가 성립하며, <math>\mathbf g</math>는 <math>\mathcal C^k</math> 함수이다.
 
 
=== 충분 조건의 비필요성 ===
다음과 같은 연속 함수 <math>f,g\colon\mathbb R^2\to\mathbb R</math> 및 <math>h\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>를 생각하자.
:<math>f(x,y)=|y|\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
그렇다면, 방정식 :<math>fg(x,y)=0</math>는 다음과 같은 연속 함수 <math>gy^3\colonqquad\mathbbforall Rx,y\toin\mathbb R</math>와 동치이다.
:<math>gh(x)=0\qquad\forall x\in\mathbb R</math>
그러면 <math>x,y\in\mathbb R</math>에 대하여 다음 세 가지가 동치이다.
따라서, <math>f</math>는 <math>(0,0)</math>에서 음함수 정리의 결론을 만족시킨다. 그러나, <math>f_y(0,0)</math>는 존재하지 않는다.
* <math>f(x,y)=0</math>
 
* <math>g(x,y)=0</math>
다음과 같은 함수 <math>f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R</math>를 생각하자.
* <math>y=h(x)</math>
 
따라서, <math>fh</math>는 <math>(0,0)f</math>에서 음함수또는 정리의<math>g</math>가 결론을유도하는 만족시킨다음함수이다. 그러나, <math>f_y(0,0)</math>는 존재하지 않는다않으며, <math>g_y(0,0)=0</math>이다.
:<math>f(x,y)=y^3\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
 
그렇다면, 방정식 <math>f(x,y)=0</math>는 같은 함수 <math>g</math>와 동치이나, <math>f_y(0,0)=0</math>이다.
 
== 같이 보기 ==