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[[선형대수학]]에서, '''단위 행렬'''({{llang|en|identity matrix}})은 [[주대각선]]의 원소가 모두 1이며 나머지 원소는 모두 0인 [[정사각 행렬]]이다.<ref>{{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8}}</ref>
{{출처 필요|날짜=2014-01-19}}
[[선형대수학]]에서 [[행렬]]의 크기가 <math>n</math>인 '''단위행렬'''(單位行列,identity matrix)은 [[주대각선|주 대각선]]이 전부 1이고 나머지 원소는 0을 값으로 갖는 <math>n \times n</math> [[정사각행렬]]이다.{{Sfn|Abdelwahab Kharab|Ronald B. Guenther|p=100|2013}} 크기가 <math>n</math>인 단위행렬은 보통 <math>I_n</math>으로 표기하지만, 그 크기가 문맥상 자명하게 유추 가능한 경우 생략하여 <math>I</math>로 쓰기도 한다. 또는 <math>E</math>({{llang|de|Einheitsmatrix}})나 <math>U</math>(unit matrix)로 표기하기도 한다.
:<math>
I_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\;
I_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
,\;
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\;
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}
</math>
==성질==
<math>I_n</math>의 가장 중요한 성질로는 다음의 것이 있다.
 
== 정의 ==
:<math>A I_n = A</math> &nbsp;&nbsp;이고&nbsp;&nbsp; <math>I_n B = B</math>이다.
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 단위 행렬 <math>1_{n\times n}\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>는 다음과 같이 정의된다.
:<math>A I_n = A=I_n A = A</math>이다.
:<math>(1_{n\times n})_{ij}=\delta_{ij}=
*단위행렬은 [[행렬]]에서 [[곱셈]]의 [[항등원]]이다.
\begin{cases}
*[[행렬 곱셈|곱셈]]에대해서 [[교환법칙]]이 성립한다.
1&i=j\\
*특수한 [[대각행렬]]이다.
0&i\ne j
*특수한 [[이진 행렬|이진행렬]]이다.
\end{cases}
이런 성질 때문에 단위행렬은 <math>n \times n</math> 행렬로 이루어진 [[환 (수학)|환]]의 '''단위''' 역할을 한다. 또한 <math>n \times n</math> 크기의 [[가역행렬]]로 이루어진 [[군 (수학)|군]]의 [[항등원]]이기도 하다. (단위행렬은 자기 자신이 자신의 역원이므로 당연히 가역행렬임을 알 수 있다.)
\qquad\forall i,j\in\{1,\dots,n\}</math>
 
여기서 <math>\delta_{ij}</math>는 [[크로네커 델타]]이다. 이를 행렬 기호로 쓰면 다음과 같다.
==차원과 거듭제곱==
:<math>1_{n\times n}=\operatorname{diag}(\underbrace{1,1,1,\dots,1}_n)=
또한 <math>n \times n</math> 정사각행렬을 <math>n</math>차원 [[벡터 공간]]에서 자기 자신으로 가는 [[선형 변환]]으로 보면, <math>I_n</math>은 그 [[기저 (선형대수학)|기저]]와 관계없이 [[항등함수]]임을 알 수 있다.
\begin{pmatrix}
 
1&0&0&\cdots&0\\
단위행렬의 <math>i</math>번째 열은 [[단위벡터]] ''<math>e_i</math>''가 된다. 단위벡터는 또한 단위행렬의 [[고유벡터]]이며 각각의 [[고윳값]]은 1이다. 이 고윳값 1은 유일한 고윳값이며, 중복도는 <math>n</math>이다. 이로부터 단위행렬의 [[행렬식]]은 1이고 [[대각합]]은 <math>n</math>임을 알 수 있다.
0&1&0&\cdots&0\\
 
0&0&1&\cdots&0\\
단위행렬 자신의 거듭제곱은 자기자신이다.<ref>https://math.stackexchange.com/questions/1431358/how-to-find-the-terms-in-n-th-power-of-this-matrix</ref><ref>http://www.qc.edu.hk/math/Teaching_Learning/Nth%20power%20of%20a%20square%20matrix.pdf</ref>
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
:거듭제곱 <math>m</math>차 에서,
0&0&0&\cdots&1
:<math>I^m = I</math>이고,
\end{pmatrix}_{n\times n}
:<math>m = n</math>일때,
:<math>I_n^m = I_n=I= 1^n=1</math> 이다.
 
 
==주대각 이진 희소행렬==
[[주대각선]]에서 [[이진 행렬]]인 [[희소행렬]]은 단위행렬을 포함하지만 [[영행렬]]로 진행하는 [[유사 단위행렬]] 또는 분할된 단위행렬을 보여준다.
:<math>
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\; , \; \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\; , \; \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
</math>
작은 크기의 단위 행렬들은 다음과 같다.
 
:<math>1_{1\times 1}=
==분할 단위행렬==
단위행렬을 분할하고,
:<math>
I = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1& 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1& 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0& 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0& 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
1
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1& 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
:<math>1_{2\times 2}=
I^a=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0& 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\;\; , \;\;
I^b =\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1& 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math> 을 예약하면,
 
:<math>A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4
\end{pmatrix} </math>에서,
:<math>A I^a = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0&1
0 & 0& 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0& 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
3 & 0 & 0 & 0\\
3 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>
:<math>A I^b1_{3\times 3}= \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 1& 0 & 0\\
0 & 1& 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 2 & 2\\
0 & 3 & 4 & 4\\
0 & 3 & 4 & 4
\end{pmatrix}
</math>
 
==성질==
:<math>A I^a + A I^b= A (I^a + I^b ) = A I =A</math>
임의의 체 <math>K</math> 위의 <math>m\times n</math> 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(m,n;K)</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>
:<math>1_{m\times m}A=A1_{n\times n}=A</math>
\begin{pmatrix}
특히, 체 <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 단위 행렬은 체 <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 정사각 행렬의 [[행렬 곱셈|곱셈]] [[모노이드]] <math>\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 [[항등원]]이다.
1 & 0 & 0& 0\\
 
1 & 0 & 0 & 0\\
체 <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 단위 행렬 <math>1_{n\times n}</math>의 [[고윳값]]은 1이며, 그 [[대수적 중복도]]와 [[기하적 중복도]]는 모두 <math>n</math>이다. 즉, <math>K</math> 위의 <math>n</math>차원 [[벡터 공간]]에서 자기 자신으로 가는 [[선형 변환]]이 <math>1_{n\times n}</math>을 행렬로 한다면, 이는 [[기저 (선형대수학)|기저]]와 상관 없이 [[항등 함수]]이다.
3 & 0 & 0 & 0\\
 
3 & 0 & 0 & 0
모든 실수 [[양의 정부호]] [[이차 형식]]은 단위 행렬을 행렬로 하는 이차 형식(즉, 제곱 합 이차 형식)과 동치이다.
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 2 & 2\\
0 & 3 & 4 & 4\\
0 & 3 & 4 & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4
\end{pmatrix}
</math>
 
==함께보기 같이 보기 ==
* [[역행렬이진 행렬]]
* [[스칼라 행렬]]
* [[영행렬]]
* [[역행렬]]
*[[케일리-해밀턴 정리]]
*[[이진 행렬]]
*[[시프트 행렬|쉬프트 행렬]]
 
== 참조각주 ==
{{각주}}
 
== 참고외부 문헌링크 ==
*([[ {{매스월드]])http://mathworld.wolfram.com/|id=IdentityMatrix.html|title=Identity matrix}}
* {{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8 |ref=harv}}
 
[[분류:선형대수학]]