상집합

집합 $\{1,2,3,4\}$의 부분 집합이 부분 순서로 나열되어 있다. 원소 1을 포함하는 모든 집합(녹색)은 상집합이며, 이는 추가로 필터를 이룬다.

순서론에서, 상집합(上集合, 영어: upper set, upward-closed set, upset)은 $S$에 속하는 원소보다 더 큰 임의의 원소 역시 $S$에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 $S$이다. 마찬가지로, 하집합(下集合, 영어: lower set, downward-closed set, downset)은 $S$에 속하는 원소보다 더 작은 임의의 원소 역시 $S$에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 $S$이다.

정의

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 부분 집합 $S\subseteq X$의 상폐포(上閉包, 영어: upper closure)는 다음과 같은 부분 집합이다.

$\uparrow S=\{x\in X\colon \exists s\in S\colon s\lesssim x\}$

이는 $S$를 포함하는 최소 상집합이다. 원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 부분 집합 $S\subseteq X$의 하폐포(下閉包, 영어: lower closure)는 다음과 같은 부분 집합이다.

$\downarrow S=\{x\in X\colon \exists s\in S\colon x\lesssim s\}$

이는 $S$를 포함하는 최소 하집합이다.

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 부분 집합 $S\subseteq X$에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 상집합(上集合, 영어: upper set)이라고 한다.

• 임의의 $x\in S$ 및 $y\in X$에 대하여, $x\lesssim y$라면 $y\in S$이다.
• $\uparrow S\subseteq S$
• $\uparrow S=S$
• $s\in S$ 및 사슬 $C\subseteq X$에 대하여, 만약 $\{s\}=\min C$라면, $C\subseteq S$이다.
• $X\setminus S$는 하집합이다.

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 부분 집합 $S\subseteq X$에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 하집합(下集合, 영어: lower set)이라고 한다.

• 임의의 $x\in S$ 및 $y\in X$에 대하여, $y\lesssim x$라면 $y\in S$이다.
• $\downarrow S\subseteq S$
• $\downarrow S=S$
• $s\in S$ 및 사슬 $C\subseteq X$에 대하여, 만약 $\{s\}=\max C$라면, $C\subseteq S$이다.
• $X\setminus S$는 상집합이다.

성질

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 상집합들의 (유한 또는 무한) 족 $(U_{i})_{i\in I}$의 교집합

$\bigcap _{i\in I}U_{i}$

및 합집합

$\bigcup _{i\in I}U_{i}$

역시 상집합이다. 마찬가지로, 하집합들의 (유한 또는 무한) 족의 교집합과 합집합 역시 하집합이다.

따라서, 원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 상집합들의 족은 (부분 집합 관계에 대하여) 완비 격자를 이룬다. 마찬가지로, $(X,\leq )$의 하집합들의 족 역시 완비 격자를 이룬다.

반사슬과의 관계

부분 순서 집합 $(X,\leq )$의 상집합 $U\subseteq X$의 극소 원소들의 집합 $\min U$는 $X$의 반사슬을 이룬다. 마찬가지로, $(X,\leq )$의 하집합 $L\subseteq X$의 극대 원소들의 집합 $\max L$은 $X$의 반사슬을 이룬다.

반대로, 부분 순서 집합 $(X,\leq )$의 반사슬 $A\subseteq X$가 주어졌을 때, $\uparrow A$는 상집합이며

$\min \uparrow A=A$

$\max \downarrow A=A$

이다. 따라서, $X$의 반사슬 집합에서 상집합 집합으로 가는 함수

$\uparrow \colon \operatorname {Antichain} (X,\leq )\to \operatorname {Upper} (X,\leq )$

는 단사 함수이며,

$\max \colon \operatorname {Upper} (X,\leq )\to \operatorname {Antichain} (X,\leq )$

는 그 왼쪽 역사상이자 전사 함수이다.

만약 $(X,\leq )$가 내림 사슬 조건을 만족시킨다면 이 두 함수는 전단사 함수이다. 그러나 일반적 부분 순서 집합에 대해서는 전단사 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 실수의 전순서 집합에서 양의 실수의 부분 집합 $\mathbb {R} ^{+}\subseteq \mathbb {R}$는 상집합이지만 극소 원소를 갖지 않는다.

예

자명한 상집합·하집합

임의의 원순서 집합 $(X,\lesssim )$에 대하여, $X$는 스스로의 상집합이자 하집합이며, 또 공집합 $\varnothing \subseteq X$ 역시 $X$의 상집합이자 하집합이다.

주 필터와 주 아이디얼

 이 부분의 본문은 필터 (수학)입니다.

임의의 원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 원소 $x\in X$에 대하여,

$\uparrow \{x\}=\{y\in X\colon x\lesssim y\}$

$\downarrow \{x\}=\{y\in X\colon y\lesssim x\}$

는 각각 상집합과 하집합을 이룬다. 사실, 이들은 각각 필터와 아이디얼을 이룬다.

실직선

실수의 전순서 집합 $(\mathbb {R} ,\leq )$의 상집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.

• $(a,\infty )$ ($a\in \mathbb {R}$)
• $[a,\infty )$ ($a\in \mathbb {R}$)
• $\mathbb {R}$
• $\varnothing$

마찬가지로, 실수의 전순서 집합 $(\mathbb {R} ,\leq )$의 하집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.

• $(-\infty ,a)$ ($a\in \mathbb {R}$)
• $(-\infty ,a]$ ($a\in \mathbb {R}$)
• $\mathbb {R}$
• $\varnothing$

정렬 집합

순서수는 스스로 미만의 다른 순서수들의 집합으로 여길 수 있다.

$\alpha =\{\beta \in \operatorname {Ord} \colon \beta <\alpha \}$

이 경우, 두 순서수 $\alpha ,\beta$에 대하여, 만약 $\alpha \leq \beta$라면 $\alpha$는 $\beta$의 하집합이다.

순서수 $\alpha$의 모든 상집합은 다음과 같은 꼴이다.

$\{\beta \in \operatorname {Ord} \colon \beta _{0}\leq \beta <\alpha \}$ ($\beta _{0}\leq \alpha +1$)

순서수 $\alpha$의 모든 하집합은 다음과 같은 꼴이다.

$\{\beta \in \operatorname {Ord} \colon \beta <\beta _{0}\}$ ($\beta _{0}\leq \alpha +1$)

외부 링크

• “Upper set”. 《nLab》 (영어). 
• “Lower set”. 《nLab》 (영어). 
• “Up set”. 《nLab》 (영어). 
• “Down set”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: upper set”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: upper closure”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: lower set”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: lower closure”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: strict upper closure”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: strict lower closure”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Equivalence of definitions of upper set”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Equivalence of definitions of lower set”. 《ProofWiki》 (영어).