마이셀-메르텐스 상수

마이셀-메르텐스 상수(Meissel-Mertens constant)

다음은 메르텐스의 정리에서 메르텐스의 제2정리(Mertens' 2nd theorems) 이다.

$p$를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다.

$M=\lim _{n\to \infty }\left(-\ln \ln n+\sum _{p\leq n}{{1} \over {p}}\right)=B_{1}=0.2614972128\ldots$ (OEIS의 수열 A077761)

이 수렴값($B_{1}$)을 마이셀-메르텐스 상수(Meissel–Mertens constant) 또는 메르텐스 상수라 한다.

오일러-마스케로니 상수 $\gamma$ 와의 관계

$B_{1}=\sum _{k=1}^{\infty }\left(\ln \left(1-{{1} \over {p_{k}}}\right)+{{1} \over {p_{k}}}\right)+\gamma$

$B_{1}=\sum _{p}\left(\ln \left(1-{{1} \over {p}}\right)+{{1} \over {p}}\right)+\gamma$

$\;\;\;=\sum _{p}\left(\ln \left({{p-1} \over {p}}\right)+{{1} \over {p}}\right)+\gamma$

$B_{1}=\sum _{n=2}^{\infty }\left({{\mu (n)} \over {n}}\ln(\zeta (n))\right)+\gamma$

$\mu$는 뫼비우스 함수 $,\zeta$ 는 리만 제타 함수 $,\gamma$ 오일러-마스케로니 상수

$B_{2}$ 메르텐스 상수

$B_{2}=B_{1}+\left(\sum _{n=1}^{\infty }{{1} \over {p_{n}(p_{n}-1)}}\right)$

$B_{2}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(ln\left(1-{{1} \over {p_{n}}}\right)+{{1} \over {p_{n}-1}}\right)\right)+\gamma$

$B_{2}=\left(\sum _{x=2}^{\infty }{{\phi (x)ln(\zeta (x))} \over {x}}\right)+\gamma$

$=1.034653...$ (OEIS의 수열 A083342)

$\phi$는 오일러 피 함수 $,\zeta$ 는 리만 제타 함수 $,\gamma$ 오일러-마스케로니 상수

메르텐스의 제1정리

메르텐스의 제1정리로 부터 메르텐스 상수 $B_{3}$ 를 얻을수있다.

$p$를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다.

$B_{3}=\lim _{n\to \infty }\left(\ln n-\sum _{p\leq n}{{\ln p} \over {p}}\right)$

$B_{3}=\left(\sum _{x=2}^{\infty }\sum _{y=1}^{\infty }{{\ln p_{y}} \over {p_{y}^{x}}}\right)+\gamma$

이 수렴값은 약 $1.3325822757..$이다.(OEIS의 수열 A083343)

함께보기

• 브룬 상수
• 쌍둥이소수 상수
• 수학 상수

참고

• (OEIS)http://oeis.org/A271971
• (OEIS)http://oeis.org/A161529
• (OEIS)http://oeis.org/A272531
• (OEIS)http://oeis.org/A136141
• (OEIS)http://oeis.org/A075986
• (OEIS)http://oeis.org/A166509
• (OEIS)http://oeis.org/A276524
• (OEIS)http://oeis.org/A249270
• (OEIS)http://oeis.org/A249271