마이셀-메르텐스 상수: 두 판 사이의 차이

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2018년 3월 2일 (금) 20:01 판

마이셀-메르텐스 상수(Meissel-Mertens constant)

다음은 메르텐스의 정리에서 메르텐스의 제2정리(Mertens' 2nd theorems) 이다.

p

를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다.^[1]

M_{2}=\lim _{n\to \infty }\left(-\ln \ln n+\sum _{p\leq n}{{1} \over {p}}\right)=0.2614972128\ldots

(OEIS,A077761)

이 수렴값( $M_{2}$ )을 마이셀-메르텐스 상수(Meissel–Mertens constant) 또는 메르텐스 상수라 한다.

오일러-마스케로니 상수 $\gamma$ 와의 관계

M_{2}=\sum _{k=1}^{\infty }\left(\ln \left(1-{{1} \over {p_{k}}}\right)+{{1} \over {p_{k}}}\right)+\gamma

M_{2}=\sum _{p}\left(\ln \left(1-{{1} \over {p}}\right)+{{1} \over {p}}\right)+\gamma

\;\;\;=\sum _{p}\left(\ln \left({{p-1} \over {p}}\right)+{{1} \over {p}}\right)+\gamma

M_{2}=\sum _{n=2}^{\infty }\left({{\mu (n)} \over {n}}\ln(\zeta (n))\right)+\gamma

\mu

는 뫼비우스 함수

,\zeta

는 리만 제타 함수

,\gamma

오일러-마스케로니 상수

함께보기

참고

↑ (OEIS)http://oeis.org/A077761

[1] (OEIS)http://oeis.org/A077761

[1]

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 마이셀-메르텐스 상수(Meissel-Mertens constant)
-다음은 [[메르텐스 정리 (정수론)|메르텐스의 정리]]에서  메르텐스의 제2정리 이다.
+다음은 [[메르텐스 정리 (정수론)|메르텐스의 정리]]에서  메르텐스의 제2정리(Mertens' 2nd theorems) 이다.
 :<math>p</math>를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다.<ref>(OEIS)http://oeis.org/A077761</ref>
-*<math>\lim_{n\to\infty}\left(-\ln\ln n+\sum_{p<n} {{1}\over{p}} \right)=0.2614972128\ldots</math> ([[OEIS]],A077761)
+:<math>M_2 = \lim_{n\to\infty}\left(-\ln\ln n+\sum_{p\leq n} {{1}\over{p}} \right)=0.2614972128\ldots</math> ([[OEIS]],A077761)
-이 수렴값(<math>M</math>)을 마이셀-메르텐스 상수(Meissel–Mertens constant)라 한다.
+이 수렴값(<math>M_2</math>)을 마이셀-메르텐스 상수(Meissel–Mertens constant) 또는 메르텐스 상수라 한다.
-==[[오일러-마스케로니 상수]] <math>\gamma</math> 와의  관계==
+==오일러-마스케로니 상수 <math>\gamma</math> 와의  관계==
-*<math>M- \gamma= \sum_{p} \left[ \ln \left(1- \frac{1}{p} \right)+ \frac{1}{p} \right]</math>
+:<math>M_2= \sum_{k=1}^{\infty} \left( \ln \left(1- {{1}\over{p_{k}}} \right)+ {{1}\over{p_{k}}} \right) + \gamma</math>
+:<math>M_2= \sum_{p} \left( \ln \left(1- {{1}\over{p}} \right)+ {{1}\over{p}} \right) + \gamma</math>
+:<math>\;\;\;= \sum_{p} \left( \ln \left( {{p-1}\over{p}} \right)+ {{1}\over{p}} \right) + \gamma</math>
+<!-- :<math>\;\;\;= \sum_{p} \left( \ln \left( {{p-1}\over{p}} + {{1}\over{p}} \right) \right) + \gamma</math>
+:<math>\;\;\;= \sum_{p} \left( \ln \left( {{p-1+1}\over{p}}  \right) \right) + \gamma</math>
+:<math>\;\;\;= \sum_{p} \left( \ln \right) + \gamma</math>  -->
+:<math>M_2= \sum_{n=2}^{\infty} \left( {{\mu(n)}\over{n}}  \ln(\zeta(n)) \right) + \gamma</math>
+:<math>\mu </math>는 [[뫼비우스 함수]] <math>, \zeta</math> 는 [[리만 제타 함수]] <math>, \gamma</math> [[오일러-마스케로니 상수]]
 ==함께보기==
 *[[브룬 상수]]
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 ==참고==
+{{주석}}
 *([[OEIS]])http://oeis.org/A271971
 *(OEIS)http://oeis.org/A161529

2018년 3월 2일 (금) 20:01 판

오일러-마스케로니 상수 γ {\displaystyle \gamma } 와의 관계

함께보기

참고

오일러-마스케로니 상수 $\gamma$ 와의 관계