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== 성질 ==
== 성질 ==
=== 위수와 지수 ===
=== 위수와 지수 ===
==== 약수 관계 ====
군의 유한 위수 원소 <math>g\in G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
군의 유한 위수 원소 <math>g\in G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>g^n=1</math>
* <math>g^n=1</math>
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* '''(⇒)''' 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g^n=1</math>이라면, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이므로, 지수의 정의에 따라 <math>\exp G\mid n</math>이다.
* '''(⇒)''' 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g^n=1</math>이라면, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이므로, 지수의 정의에 따라 <math>\exp G\mid n</math>이다.
{{증명 끝}}
{{증명 끝}}
[[유한군]] <math>G</math>에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}g\mid\exp G\mid|G|</math>
군의 유한 위수 원소 <math>g\in G</math> 및 [[정규 부분군]] <math>N\triangleleft G</math>에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}(gN)\mid\operatorname{ord}g</math>
{{증명 시작}}
:<math>(gN)^{\operatorname{ord}g}=g^{\operatorname{ord}g}N=N</math>
{{증명 끝}}
==== 항등식 ====
군의 유한 위수 원소 <math>g\in G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
군의 유한 위수 원소 <math>g\in G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}g^n=\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}</math>
:<math>\operatorname{ord}g^n=\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}</math>
군론 에서, 순환군 (循環群, 영어 : cyclic group )은 하나의 원소에 의하여 생성되는 군 이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정 원소의 거듭제곱이다. (가법군의 경우, 모든 원소는 어떤 고정 원소의 정수배이다.)
정의
군 의 원소
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
가 생성하는 순환군
⟨
g
⟩
{\displaystyle \langle g\rangle }
은 다음과 같다.
⟨
g
⟩
=
{
…
,
g
−
2
,
g
−
1
,
1
,
g
,
g
2
,
…
}
≤
G
{\displaystyle \langle g\rangle =\{\dots ,g^{-2},g^{-1},1,g,g^{2},\dots \}\leq G}
위수
군
G
{\displaystyle G}
의 위수 (位數, 영어 : order )
|
G
|
{\displaystyle |G|}
는 집합의 크기 이다.
군의 원소
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
의 위수
ord
g
{\displaystyle \operatorname {ord} g}
는 그 원소가 생성하는 순환군의 위수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원 이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
ord
g
=
|
⟨
g
⟩
|
=
{
∞
∄
n
∈
Z
+
:
g
n
=
1
min
{
n
∈
Z
+
:
g
n
=
1
}
∃
n
∈
Z
+
:
g
n
=
1
∈
Z
+
∪
{
∞
}
{\displaystyle \operatorname {ord} g=|\langle g\rangle |={\begin{cases}\infty &\not \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\\\min\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\}&\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\end{cases}}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}}
지수
군
G
{\displaystyle G}
의 지수 (指數, 영어 : exponent )
exp
G
{\displaystyle \exp G}
는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
exp
G
=
{
∞
∄
n
∈
Z
+
∀
g
∈
G
:
g
n
=
1
lcm
g
∈
G
ord
g
=
min
{
n
∈
Z
+
:
∀
g
∈
G
:
g
n
=
1
}
∃
n
∈
Z
+
∀
g
∈
G
:
g
n
=
1
∈
Z
+
∪
{
∞
}
{\displaystyle \exp G={\begin{cases}\infty &\not \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\forall g\in G\colon g^{n}=1\\\operatorname {lcm} _{g\in G}\operatorname {ord} g=\min\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \forall g\in G\colon g^{n}=1\}&\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\forall g\in G\colon g^{n}=1\end{cases}}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}}
분류
순환군은 정수군 또는 그 몫군 과 동형 이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 몫군과 동형이다.
⟨
g
⟩
≅
{
Z
ord
g
=
∞
Z
ord
g
ord
g
<
∞
{\displaystyle \langle g\rangle \cong {\begin{cases}Z&\operatorname {ord} g=\infty \\Z_{\operatorname {ord} g}&\operatorname {ord} g<\infty \end{cases}}}
성질
위수와 지수
약수 관계
군의 유한 위수 원소
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
및 정수
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
g
n
=
1
{\displaystyle g^{n}=1}
ord
g
∣
n
{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n}
(⇐)
ord
g
∣
n
{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n}
이라면,
n
=
n
′
ord
g
{\displaystyle n=n'\operatorname {ord} g}
인
n
′
∈
Z
{\displaystyle n'\in \mathbb {Z} }
가 존재하므로,
g
n
=
(
g
ord
g
)
n
′
=
1
n
′
=
1
{\displaystyle g^{n}=(g^{\operatorname {ord} g})^{n'}=1^{n'}=1}
이다.
(⇒)
g
n
=
1
{\displaystyle g^{n}=1}
이라면,
n
{\displaystyle n}
과
ord
g
{\displaystyle \operatorname {ord} g}
의 나머지 있는 나눗셈을
n
=
q
ord
g
+
r
{\displaystyle n=q\operatorname {ord} g+r}
라고 하면,
g
r
=
g
n
g
−
ord
g
=
1
{\displaystyle g^{r}=g^{n}g^{-\operatorname {ord} g}=1}
이므로, 위수의 정의에 따라
r
=
0
{\displaystyle r=0}
이다. 즉,
ord
g
∣
n
{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n}
이다.
지수가 유한한 군
G
{\displaystyle G}
및 정수
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
임의의
g
∈
G
{\displaystyle g\in \mathbb {G} }
에 대하여,
g
n
=
1
{\displaystyle g^{n}=1}
exp
G
∣
n
{\displaystyle \exp G\mid n}
(⇐)
exp
G
∣
n
{\displaystyle \exp G\mid n}
이라면,
n
=
n
′
exp
G
{\displaystyle n=n'\exp G}
인
n
′
∈
Z
{\displaystyle n'\in \mathbb {Z} }
가 존재하므로, 임의의
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
에 대하여,
g
n
=
(
g
exp
G
)
n
′
=
1
n
′
=
1
{\displaystyle g^{n}=(g^{\exp G})^{n'}=1^{n'}=1}
이다.
(⇒) 임의의
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
에 대하여
g
n
=
1
{\displaystyle g^{n}=1}
이라면, 임의의
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
에 대하여
ord
g
∣
n
{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n}
이므로, 지수의 정의에 따라
exp
G
∣
n
{\displaystyle \exp G\mid n}
이다.
유한군
G
{\displaystyle G}
에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
ord
g
∣
exp
G
∣
|
G
|
{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid \exp G\mid |G|}
군의 유한 위수 원소
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
및 정규 부분군
N
◃
G
{\displaystyle N\triangleleft G}
에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
ord
(
g
N
)
∣
ord
g
{\displaystyle \operatorname {ord} (gN)\mid \operatorname {ord} g}
(
g
N
)
ord
g
=
g
ord
g
N
=
N
{\displaystyle (gN)^{\operatorname {ord} g}=g^{\operatorname {ord} g}N=N}
항등식
군의 유한 위수 원소
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
및 정수
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
ord
g
n
=
ord
g
gcd
{
ord
g
,
n
}
{\displaystyle \operatorname {ord} g^{n}={\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}}
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
ord
g
n
∣
ord
g
gcd
{
ord
g
,
n
}
{\displaystyle \operatorname {ord} g^{n}\mid {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}}
증명:
(
g
n
)
ord
g
gcd
{
ord
g
,
n
}
=
(
g
ord
g
)
n
gcd
{
ord
g
,
n
}
=
1
n
gcd
{
ord
g
,
n
}
=
1
{\displaystyle (g^{n})^{\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=(g^{\operatorname {ord} g})^{\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=1^{\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=1}
ord
g
gcd
{
ord
g
,
n
}
∣
ord
g
n
{\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid \operatorname {ord} g^{n}}
증명:
1
=
(
g
n
)
ord
g
n
=
g
n
ord
g
n
{\displaystyle 1=(g^{n})^{\operatorname {ord} g^{n}}=g^{n\operatorname {ord} g^{n}}}
이므로,
ord
g
∣
n
ord
g
n
{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n\operatorname {ord} g^{n}}
이므로,
ord
g
gcd
{
ord
g
,
n
}
∣
n
gcd
{
ord
g
,
n
}
ord
g
n
{\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid {\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\operatorname {ord} g^{n}}
이므로,
ord
g
gcd
{
ord
g
,
n
}
∣
ord
g
n
{\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid \operatorname {ord} g^{n}}
군의 원소
g
,
h
∈
G
{\displaystyle g,h\in G}
가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
g
h
=
h
g
{\displaystyle gh=hg}
gcd
{
ord
g
,
ord
h
}
=
1
{\displaystyle \gcd\{\operatorname {ord} g,\operatorname {ord} h\}=1}
그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
ord
(
g
h
)
=
ord
g
ord
h
{\displaystyle \operatorname {ord} (gh)=\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h}
반대로, 군의 원소
x
∈
G
{\displaystyle x\in G}
의 위수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.
ord
x
=
m
n
(
gcd
{
m
,
n
}
=
1
)
{\displaystyle \operatorname {ord} x=mn\qquad (\gcd\{m,n\}=1)}
그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는
g
,
h
∈
G
{\displaystyle g,h\in G}
가 존재한다.
x
=
g
h
=
h
g
{\displaystyle x=gh=hg}
ord
g
=
m
{\displaystyle \operatorname {ord} g=m}
ord
h
=
n
{\displaystyle \operatorname {ord} h=n}
유한 아벨 군
G
{\displaystyle G}
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
가 존재한다.
임의의
h
∈
G
{\displaystyle h\in G}
에 대하여,
ord
h
∣
ord
g
{\displaystyle \operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} g}
즉,
G
{\displaystyle G}
에 대하여, 다음이 성립한다.
max
g
∈
G
ord
g
=
exp
G
{\displaystyle \max _{g\in G}\operatorname {ord} g=\exp G}
순환군
모든 순환군은 유한 생성 아벨 군 이다.
군
G
{\displaystyle G}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
|
G
|
{\displaystyle |G|}
는 소수 이다.
G
{\displaystyle G}
는 순환군이자 단순군 이다.
순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로,
⟨
g
⟩
{\displaystyle \langle g\rangle }
의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
⟨
g
n
⟩
{
n
∈
Z
ord
g
=
∞
n
∣
ord
g
ord
g
<
∞
{\displaystyle \langle g^{n}\rangle \qquad {\begin{cases}n\in \mathbb {Z} &\operatorname {ord} g=\infty \\n\mid \operatorname {ord} g&\operatorname {ord} g<\infty \end{cases}}}
순환군의 몫군 역시 순환군이다.
유한군
G
{\displaystyle G}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
G
{\displaystyle G}
는 순환군이다.
임의의
m
∈
Z
+
{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}
에 대하여,
|
{
x
∈
G
:
x
m
=
1
}
|
≤
m
{\displaystyle |\{x\in G\colon x^{m}=1\}|\leq m}
이다.
순환군
Z
m
,
Z
n
{\displaystyle Z_{m},Z_{n}}
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
Z
m
⊕
Z
n
≅
Z
m
n
{\displaystyle Z_{m}\oplus Z_{n}\cong Z_{mn}}
gcd
{
m
,
n
}
=
1
{\displaystyle \gcd\{m,n\}=1}
(⇐)
ord
(
1
⊕
1
)
=
ord
(
1
⊕
0
)
ord
(
0
⊕
1
)
=
m
n
{\displaystyle \operatorname {ord} (1\oplus 1)=\operatorname {ord} (1\oplus 0)\operatorname {ord} (0\oplus 1)=mn}
(⇒) 만약
gcd
{
m
,
n
}
≠
1
{\displaystyle \gcd\{m,n\}\neq 1}
이라면,
|
{
a
⊕
b
∈
Z
m
⊕
Z
n
:
(
a
⊕
b
)
m
n
gcd
{
m
,
n
}
=
1
}
|
=
|
Z
m
⊕
Z
n
|
=
m
n
>
m
n
gcd
{
m
,
n
}
{\displaystyle |\{a\oplus b\in Z_{m}\oplus Z_{n}\colon (a\oplus b)^{\frac {mn}{\gcd\{m,n\}}}=1\}|=|Z_{m}\oplus Z_{n}|=mn>{\frac {mn}{\gcd\{m,n\}}}}
코시 정리 에 따르면, 임의의 소인수
p
∣
|
G
|
{\displaystyle p\mid |G|}
에 대하여,
ord
g
p
=
p
{\displaystyle \operatorname {ord} g_{p}=p}
인
g
p
∈
G
{\displaystyle g_{p}\in G}
가 존재한다.
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