단위행렬: 두 판 사이의 차이
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2017년 8월 17일 (목) 20:43 판
이 문서의 내용은 출처가 분명하지 않습니다. (2014년 1월) |
선형대수학에서 행렬의 크기가 인 단위행렬(單位行列,identity matrix)은 주 대각선이 전부 1이고 나머지 원소는 0을 값으로 갖는 정사각행렬이다. 크기가 인 단위행렬은 보통 으로 표기하지만, 그 크기가 문맥상 자명하게 유추 가능한 경우 생략하여 로 쓰기도 한다. 또는 (독일어: Einheitsmatrix)나 (unit matrix)로 표기하기도 한다.
성질
의 가장 중요한 성질로는 다음의 것이 있다.
- 이고 이다.
- 이다.
이런 성질 때문에 단위행렬은 행렬로 이루어진 환의 단위 역할을 한다. 또한 크기의 가역행렬로 이루어진 군의 항등원이기도 하다. (단위행렬은 자기 자신이 자신의 역원이므로 당연히 가역행렬임을 알 수 있다.)
차원과 거듭제곱
또한 정사각행렬을 차원 벡터 공간에서 자기 자신으로 가는 선형 변환으로 보면, 은 그 기저와 관계없이 항등함수임을 알 수 있다.
단위행렬의 번째 열은 단위벡터 가 된다. 단위벡터는 또한 단위행렬의 고유벡터이며 각각의 고윳값은 1이다. 이 고윳값 1은 유일한 고윳값이며, 중복도는 이다. 이로부터 단위행렬의 행렬식은 1이고 대각합은 임을 알 수 있다.
- 거듭제곱 차 에서,
- 이고,
- 일때,
- 이다.
주대각 이진 희소행렬
주대각선에서 이진 행렬인 희소행렬은 단위행렬을 포함하지만 쇠퇴되는 유사 단위행렬도 보여준다.