39번째 줄:
39번째 줄:
:<math>I^m = I</math>이고,
:<math>I^m = I</math>이고,
:<math>m = n</math>일때,
:<math>m = n</math>일때,
:<math>I_n^m = I_n=I= n</math> 이다.
:<math>I_n^m = I_n=I= 1^ n=1 </math> 이다.
==함께보기==
==함께보기==
2017년 8월 16일 (수) 11:13 판
선형대수학 에서 행렬 의 크기가
n
{\displaystyle n}
인 단위행렬 (單位行列,identity matrix)은 주 대각선 이 전부 1이고 나머지 원소는 0을 값으로 갖는
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각행렬 이다. 크기가
n
{\displaystyle n}
인 단위행렬은 보통
I
n
{\displaystyle I_{n}}
으로 표기하지만, 그 크기가 문맥상 자명하게 유추 가능한 경우 생략하여
I
{\displaystyle I}
로 쓰기도 한다. 또는
E
{\displaystyle E}
(독일어 : Einheitsmatrix )나
U
{\displaystyle U}
(unit matrix)로 표기하기도 한다.
I
1
=
[
1
]
,
I
2
=
[
1
0
0
1
]
,
I
3
=
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
,
⋯
,
I
n
=
[
1
0
⋯
0
0
1
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
1
]
{\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}
성질
I
n
{\displaystyle I_{n}}
의 가장 중요한 성질로는 다음의 것이 있다.
A
I
n
=
A
{\displaystyle AI_{n}=A}
이고
I
n
B
=
B
{\displaystyle I_{n}B=B}
이다.
A
I
n
=
A
=
I
n
A
=
A
{\displaystyle AI_{n}=A=I_{n}A=A}
이다.
이런 성질 때문에 단위행렬은
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
행렬로 이루어진 환 의 단위 역할을 한다. 또한
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
크기의 가역행렬 로 이루어진 군 의 항등원 이기도 하다. (단위행렬은 자기 자신이 자신의 역원이므로 당연히 가역행렬임을 알 수 있다.)
차원과 거듭제곱
또한
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각행렬을
n
{\displaystyle n}
차원 벡터 공간 에서 자기 자신으로 가는 선형 변환 으로 보면,
I
n
{\displaystyle I_{n}}
은 그 기저 와 관계없이 항등함수 임을 알 수 있다.
단위행렬의
i
{\displaystyle i}
번째 열은 단위벡터
e
i
{\displaystyle e_{i}}
가 된다. 단위벡터는 또한 단위행렬의 고유벡터 이며 각각의 고윳값 은 1이다. 이 고윳값 1은 유일한 고윳값이며, 중복도는
n
{\displaystyle n}
이다. 이로부터 단위행렬의 행렬식 은 1이고 대각합 은
n
{\displaystyle n}
임을 알 수 있다.
단위행렬 자신의 거듭제곱은 자기자신이다.[1] [2]
거듭제곱
m
{\displaystyle m}
차 에서,
I
m
=
I
{\displaystyle I^{m}=I}
이고,
m
=
n
{\displaystyle m=n}
일때,
I
n
m
=
I
n
=
I
=
1
n
=
1
{\displaystyle I_{n}^{m}=I_{n}=I=1^{n}=1}
이다.
함께보기
참조